[论文解读] The Feedback Capacity of the (1, ∞)-RLL Input-Constrained Erasure Channel.

Oron Sabag, Haim H. Permuter+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2015

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一句话总结

该论文推导了(1,∞)-RLL约束删失信道的反馈容量，表明其等于 $ C_{\rho} = \frac{H_b(p)}{p + \frac{1}{1-\rho}} $，其中 $ 0 \leq p \leq \frac{1}{2} $，$ H_b(p) $ 为二元熵函数。通过动态规划（DP）最大化平均奖励，得到一个达到容量的零错误编码方案。DP公式化方法使得容量计算与显式码构造得以统一实现。

ABSTRACT

The input-constrained erasure channel with feedback is considered, where the binary input sequence contains no consecutive ones, i.e., it satisfies the $(1,\infty)$-RLL constraint. We derive the capacity for this setting, which can be expressed as $C_{\epsilon}=\max_{0 \leq p \leq \frac{1}{2}}\frac{H_{b}(p)}{p+\frac{1}{1-\epsilon}}$, where $\epsilon$ is the erasure probability and $ H_{b}(\cdot)$ is the binary entropy function. Moreover, we prove that a-priori knowledge of the erasure at the encoder does not increase the feedback capacity. The feedback capacity was calculated using an equivalent dynamic programming (DP) formulation with an optimal average-reward that is equal to the capacity. Furthermore, we obtained an optimal encoding procedure from the solution of the DP, leading to a capacity-achieving, zero-error coding scheme for our setting. DP is thus shown to be a tool not only for solving optimization problems such as capacity calculation, but also for constructing optimal coding schemes. The derived capacity expression also serves as the only non-trivial upper bound known on the capacity of the input-constrained erasure channel without feedback, a problem that is still open.

研究动机与目标

• 推导二元输入受限删失信道在(1,∞)-RLL约束下的反馈容量。
• 研究编码器对删失事件的先验知识是否能提升反馈容量。
• 设计一种显式构造的零错误编码方案，以实现推导出的容量。
• 建立输入受限删失信道在无反馈情况下的首个非平凡上界。

提出的方法

• 将信道容量问题公式化为一个动态规划（DP）问题，其最优平均奖励即为反馈容量。
• 利用DP框架推导出容量表达式 $ C_{\rho} = \frac{H_b(p)}{p + \frac{1}{1-\rho}} $，其中 $ H_b(p) $ 为二元熵函数。
• 证明编码器对删失事件的先验知识不会增加反馈容量。
• 从DP解中提取最优编码过程，从而构造出一个零错误且达到容量的编码方案。
• 将DP解应用于推导输入受限删失信道在无反馈情况下的首个已知非平凡上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 (1,∞)-RLL约束删失信道在二元输入和删失概率 $ \rho $ 下的反馈容量是多少？
• RQ2 编码器对删失事件的先验知识是否能提升该信道的反馈容量？
• RQ3 能否显式构造一种零错误编码方案，使其在(1,∞)-RLL约束下达到反馈容量？
• RQ4 输入受限删失信道在无反馈情况下的最佳已知上界是什么？

主要发现

• 反馈容量由 $ C_{\rho} = \frac{H_b(p)}{p + \frac{1}{1-\rho}} $ 给出，其中 $ 0 \leq p \leq \frac{1}{2} $，$ H_b(p) $ 表示二元熵函数。
• 编码器对删失事件的先验知识不会提升反馈容量，表明仅靠反馈已足够实现容量受限的传输。
• 从动态规划解中显式构造出一个零错误且达到容量的编码方案。
• 推导出的容量表达式成为输入受限删失信道在无反馈情况下的首个已知非平凡上界。
• 动态规划框架成功地以统一方式实现了容量计算与最优编码策略的构造。