[论文解读] The Fermat-type equations x^5 + y^5 = 2z^p or 3z^p solved through Q-curves

Luís Dieulefait, Nuno Freitas|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过 $\rQ$-曲线和广义模形式技术，解决了特定无穷素数族下的费马型方程 $x^5 + y^5 = 2z^p$ 和 $x^5 + y^5 = 3z^p$。它证明了在 $p > 13$ 且 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 与 $p \equiv \pm 1 \pmod{5}$ 的条件下，$d=2$ 情形下不存在非平凡本原解；在 $p > 73$ 且 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的条件下，$d=3$ 情形下也不存在非平凡本原解，使用了伽罗瓦表示和新形式消除的高级工具。

ABSTRACT

We solve the Diophantine equations $x^5 + y^5 = dz^p$ with $d=2, 3$ for a set of prime numbers of density 1/4, 1/2, respectively. The method consists in relating a possible solution to another Diophantine equation and solving the later by using Q-curves and a generalized modular technique as in work of Ellenberg and Dieulefait-Jimenez along with some new techniques for eliminating newforms.

研究动机与目标

• 解决当经典模形式方法失效时，特定无穷素数族下的丢番图方程 $x^5 + y^5 = 2z^p$ 和 $x^5 + y^5 = 3z^p$。
• 将模形式方法扩展至 $d=2$ 和 $d=3$ 的情形，利用 $\rQ$-曲线和广义模性技术，这些情形此前无法通过标准椭圆曲线方法解决。
• 发展并应用新方法，用于在 $\rQ$-曲线背景下消除新形式，以排除潜在解。
• 利用伽罗瓦表示和类域论工具，建立在密度为 $1/4$（$d=2$）和 $1/2$（$d=3$）的素数集合上，非平凡本原解不存在。

提出的方法

• 作者将 $x^5 + y^5 = dz^p$ 的解与 $φ(a,b) = c^p$ 或 $φ(a,b) = 5c^p$ 的解联系起来，其中 $φ(a,b) = a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4$，利用互素性和 5-adic 赋值的性质。
• 他们在 $\rQ(ω)$ 上构造一个弗雷 $\rQ$-曲线 $E$，其中 $ω = (-1 + √{5})/2$，定义为 $y^2 = x^3 + 2(a+b)x^2 - \bar{\omega}\phi_1x$，该曲线具有到其伽罗瓦共轭的 2-同源，从而确认其 $\rQ$-曲线结构。
• 在 $K = ¹√{\frac{1}{2}(5 + √{5})}$ 上定义该曲线的一个扭 $E_\gamma$，其中 $\gamma = 2\theta^2 - \theta - 5$，确保韦伊限制分解为 $GL_2$-型阿贝尔簇。
• 该方法通过附着于 $\rQ$-曲线的伽罗瓦表示，应用广义模形式技术，依赖于这些表示在实二次域上的满射性，该结论由艾伦堡的工作推广而来。
• 利用类域论和 $\rQ(\sqrt{5}, \sqrt{-2})$ 中的上链计算，解决了嵌入问题，从而通过导子为 20 的分裂特征显式构造了扭参数 $\gamma$。
• 将新形式消除技术推广并应用于排除可能对应于解的潜在模形式，利用局部和全局伽罗瓦信息。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些无穷素数族 $p$，方程 $x^5 + y^5 = 2z^p$ 没有非平凡本原解？
• RQ2 能否将通过 $\rQ$-曲线的模方法扩展至 $d=2,3$ 的情形，以求解 $x^5 + y^5 = dz^p$，其中标准模方法失效？
• RQ3 在求解广义费马方程时，为在 $\rQ$-曲线背景下消除新形式，需要哪些新方法？
• RQ4 如何将 $\rQ$-曲线上伽罗瓦表示的满射性推广至实二次扩张，以排除解？
• RQ5 在所述同余条件下，方程 $x^5 + y^5 = 2z^p$ 和 $x^5 + y^5 = 3z^p$ 不存在非平凡解的素数的确切密度是多少？

主要发现

• 对于所有满足 $p > 13$ 且 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 与 $p \equiv \pm 1 \pmod{5}$ 的素数 $p$，方程 $x^5 + y^5 = 2\gamma z^p$ 没有非平凡本原解，其中 $\gamma$ 仅由满足 $l \not\equiv 1 \pmod{5}$ 的素数整除。
• 对于所有满足 $p > 73$ 且 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的素数 $p$，方程 $x^5 + y^5 = 3\gamma z^p$ 在 $\gamma$ 满足相同条件时，也没有非平凡本原解。
• 作者在 $K = ¹√{\frac{1}{2}(5 + √{5})}$ 上构造了一个 $\rQ$-曲线的扭 $E_\gamma$，显式定义为 $\gamma = 2\theta^2 - \theta - 5$，该扭在 $K$ 上完全定义，且具有平凡的舒尔类。
• 该解依赖于使用 $\rQ$-曲线伽罗瓦表示的广义模形式技术，其满射性通过导子为 20、阶为 4 的特征在实二次域上建立。
• 本文引入并应用了在 $\rQ$-曲线背景下消除新形式的新技术，利用显式上链计算和双二次域中的嵌入问题求解。
• 在所述同余条件下，非平凡解不存在的素数密度为 $1/4$（$d=2$）和 $1/2$（$d=3$）。