[论文解读] The Feynman $i \epsilon$ in String Theory

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 23

一句话总结

本文通过证明其对应于模空间中积分路径的形变，特别是靠近退化黎曼曲面的区域，确定了弦理论中费曼 $i\varepsilon$ 规则的对应物。该形变确保了洛伦兹签名下因果性与收敛性散射振幅，与量子场论中 $i\varepsilon$ 的作用相呼应，并为具有实外部动量的弦微扰理论提供了系统且与场论匹配的框架。

ABSTRACT

The Feynman $i\\varepsilon$ is an important ingredient in defining perturbative scattering amplitudes in field theory. Here we describe its analog in string theory. Roughly one takes the string worldsheet to have Lorentz signature when a string is going on-shell although it has Euclidean signature generically.

研究动机与目标

• 澄清费曼 $i\varepsilon$ 规则在弦微扰理论中的物理意义，超越其在弦场论中已知的形式。
• 以黎曼曲面模空间上形变积分路径的形式，建立 $i\varepsilon$ 移位的系统性几何解释。
• 确保通过模空间积分计算的弦振幅重现量子场论中观察到的正确因果性与幺正性行为。
• 为实运动学不变量提供弦振幅的明确定义的积分表示，与场论中的 $i\varepsilon$ 规则相匹配。
• 通过定义在动量变化下保持收敛性的路径，为弦振幅的解析延拓奠定基础。

提出的方法

• 本文将弦场论中 $i\varepsilon$ 移位（其中传播子为 $1/(L_0 - i\varepsilon)$）转化为模空间积分的语言。
• 它将 $i\varepsilon$ 规则与复模空间 $\widetilde{\mathcal{M}}$ 中积分路径 $\widetilde{\Gamma}$ 的形变联系起来，特别是在世界面退化点附近。
• 该形变通过引入因子 $\exp(-\varepsilon \Phi)$ 确保无穷远处的振荡收敛性，类似于场论中 $i\varepsilon$ 的阻尼作用。
• 该方法适用于树图级与圈图级振幅，其中路径形变仅在黎曼曲面退化极限附近至关重要。
• 它利用了弦振幅在大 $\tau$ 行为下与场论一致的事实，这是由于有效传播子和耦合项中包含了类似 $i\varepsilon$ 的阻尼。
• 该方法通过证明在 $\tau \to \infty$ 时无边界项存在，且由振荡收敛性保证，从而得到验证，正如在场论中一样。

实验结果

研究问题

• RQ1 在协变弦微扰理论中，费曼 $i\varepsilon$ 规则的几何与动力学意义是什么？
• RQ2 如何将 $i\varepsilon$ 移位实现为黎曼曲面模空间中积分路径的形变？
• RQ3 为何 $i\varepsilon$ 规则对弦振幅的因果性与幺正性至关重要，它如何从世界面退化中自然出现？
• RQ4 弦理论中类似 $i\varepsilon$ 的行为能否从模空间积分结构中系统推导而出？
• RQ5 形变路径 $\widetilde{\Gamma}$ 如何确保实外部动量下振幅的收敛性与正确解析结构？

主要发现

• 弦理论中的费曼 $i\varepsilon$ 对应于黎曼曲面复模空间中积分路径 $\widetilde{\Gamma}$ 的形变，尤其在退化附近。
• 该路径形变确保了无穷远处的振荡收敛性，模仿了场论中 $i\varepsilon$ 的阻尼作用，防止了非物理的边界项出现。
• 该规则仅在世界面发生退化的区域中至关重要，且通过有效传播子与耦合项与场论中的 $i\varepsilon$ 行为相匹配。
• 该方法为实运动学不变量提供了弦振幅明确定义的积分表示，重现了场论中 $i\varepsilon$ 的结果。
• 形变路径 $\widetilde{\Gamma}$ 允许建立一个一致的框架，用于研究解析延拓与圈振幅的解析结构。
• 该方法阐明了 $i\varepsilon$ 并非数值移位，而是模空间中积分路径的几何选择，对因果性与幺正性具有物理影响。