[论文解读] The field Q(2cos(pi/n)), its Galois group and length ratios in the regular n-gon

Wolfdieter Lang|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文研究代数数域 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$，推导其最小多项式 $C(n,x)$，通过奇剩余元上的新型模乘法刻画其伽罗瓦群，并利用切比雪夫多项式表达正 $n$ 边形中对角线与边长之比。主要贡献在于建立了一个完整的代数框架，将这些比值与该域的结构及其伽罗瓦群联系起来，该伽罗瓦群为循环群或若干循环群的直积。

ABSTRACT

The normal field extension Q(rho(n)), with the algebraic number rho(n) = 2 cos(pi/n) for natural n, is related to ratios of the lengths between diagonals and the side of a regular n-gon. This has been considered in a paper by P. Steinbach. These ratios are given by Chebyshev S-polynomials. The product formula for these ratios was found by Steinbach, and is re-derived here from a known formula for the product of Chebyshev S-polynomials. It is shown that it follows also from the S-polynomial recurrence and certain rules following from the trigonometric nature of the argument x = rho(n). The minimal integer polynomial C(n,x) for rho(n) is presented, and its simple zeros are expressed in the power-basis of Q(rho(n)). Also the positive zeros of the Chebyshev polynomial S(k-1,rho(n)) are rewritten in this basis. The number of positive and negative zeros of C(n,x) is determined. The coefficient C(n,0) is computed for special classes of n values. Theorems on C(n,x) in terms of monic integer Chebyshev polynomials of the first kind (called here t-hat) are given. These polynomials can be factorized in terms of the minimal C-polynomials. A conjecture on the discriminant of these polynomials is made. In order to determine the cycle structure of the (Abelian) Galois group a novel modular multiplication, called Modd n is introduced. On the reduced odd residue system Modd n this furnishes a group which is isomorphic to this Galois group.

研究动机与目标

• 为所有 $n \in \mathbb{N}$ 确定域 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$ 及其最小多项式 $C(n,x)$。
• 确定 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群，证明其为循环群或若干循环群的直积。
• 利用切比雪夫多项式 $S(k-1, \rho(n))$ 表达正 $n$ 边形中对角线与边长之比，并推导这些比值的乘积公式。
• 以缩放后的切比雪夫 $T$-多项式 $\hat{t}$ 表示该域的幂基及 $C(n,x)$ 的零点。
• 在模 $n$ 的简化奇剩余系上引入一种新型模乘法 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$，以模拟伽罗瓦群的循环结构。

提出的方法

• 从已知的 $\cos(2\pi/N)$ 的最小多项式 $\Psi(2n,x)$（其中 $N=2n$）推导 $\rho(n) = 2\cos(\pi/n)$ 的最小多项式 $C(n,x)$。
• 利用切比雪夫多项式 $S(k-1,x)$ 的递推关系与三角恒等式，表达正 $n$ 边形中对角线与边长之比。
• 应用 $S$-多项式乘积公式，重新推导斯坦巴赫的对角线乘积公式（DPF）长度比。
• 使用缩放后的切比雪夫 $T$-多项式 $\hat{t}$，在 $\mathbb{Q}(\rho(n))$ 的幂基中表示 $C(n,x)$ 的零点以及 $S(k-1,\rho(n))$ 的正零点。
• 在模 $n$ 的简化奇剩余系上引入一种新的模乘法 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$，以模拟伽罗瓦群的循环结构。
• 建立伽罗瓦群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\rho(n))/\mathbb{Q})$ 与乘法群 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ 之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\rho(n) = 2\cos(\pi/n)$，其最小多项式 $C(n,x)$ 的结构是什么？它与 $\Psi(2n,x)$ 有何关系？
• RQ2 在 $\mathbb{Q}(\rho(n))$ 上，$\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦群如何依赖于 $n$？在何种情况下该群非循环？
• RQ3 正 $n$ 边形中对角线与边长之比是否能通过切比雪夫多项式与代数数论系统地表达？
• RQ4 新型模乘法 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ 在确定伽罗瓦群的循环结构中起什么作用？
• RQ5 对于特殊类别的 $n$（如素数幂或无平方因子 $n$），$C(n,x)$ 的系数与判别式行为如何？

主要发现

• 对于 $\rho(n) = 2\cos(\pi/n)$，其最小多项式 $C(n,x)$ 是一个整系数多项式，次数为 $\delta(n) = \text{A055034}(n)$，所有零点均为单重零点，且可用 $\mathbb{Q}(\rho(n))$ 的幂基表示。
• 域 $\mathbb{Q}(\rho(n))$ 是 $\mathbb{Q}$ 的正规扩张，且 $C(n,x)$ 是其分裂多项式。
• 伽罗瓦群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\rho(n))/\mathbb{Q})$ 同构于乘法群 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$，该群作用于模 $n$ 的简化奇剩余系上。
• 在 $n$ 从 1 到 100 的范围内，有 30 个值使得伽罗瓦群非循环，其为若干循环群的直积。
• 正 $n$ 边形中对角线与边长之比为 $S(k-1, \rho(n))$，其乘积公式通过 $S$-多项式恒等式重新推导。
• 计算了特殊 $n$ 的系数 $C(n,0)$，并提出了关于 $C(n,x)$ 判别式的猜想。