[论文解读] The fine spectral expansion of the Rankin-Selberg period

Paul Boisseau|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2026

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一句话总结

论文建立了 Rankin–Selberg 的 GL(n+1)×GL(n)/GL(n) 球面型的细谱展开，并通过对非整齐表示的正规化 Rankin–Selberg 周期来表达，并详细说明轮廓移动论证与 Eisenstein 系数的界限。

ABSTRACT

We state and prove the spectral expansion of the theta series attached to the Rankin-Selberg spherical variety $(\mathrm{GL}_{n+1} imes \mathrm{GL}_n)/\mathrm{GL}_n$. This is a key result towards the fine spectral expansion of the Jacquet-Rallis trace formula. Our expansion is written in terms of regularized Rankin--Selberg periods for non-tempered automorphic representations, which we show compute special values of $L$-functions. The proof relies on shifts of contours of integration à la Langlands. We also establish two technical but crucial results on bounds and singularities for discrete Eisenstein series of $\mathrm{GL}_n$ in the positive Weyl chamber.

研究动机与目标

• 介绍并描述附属于 Rankin–Selberg 球面型 X = GL(n+1)×GL(n)/GL(n) 的 theta 系列的谱分解。
• 发展针对非整齐自守表示的正规化 Rankin–Selberg 周期，并将其与 L 函数的特殊值联系起来。
• 通过正规化周期和 Eisenstein 系列分析提供 Rankin–Selberg 周期的完整细谱展开。
• 确立正维 Weyl 腔室中离散 Eisenstein 系列的界限与奇点结果，并将其与展开联系起来。

提出的方法

• 对 Rankin–Selberg 积分进行展开并分解自守核，以获得谱展开。
• 通过 Eisenstein 系列及相关 L 函数的残量定义非整齐数据的正规化 Rankin–Selberg 周期 Pπ。
• 在未受扰参数空间中移位积分轮廓，以捕获残留项，遵循 Langlands 型方法。
• 分析 GL(n) 的 Eisenstein 系列的奇点，确定残量如何贡献于最终展开（定理 1.6）。
• 明确描述索引集合 ΠH 中的谱对象 I、P、π 及相关的周期泛函 Pπ、λ。
• 证明主展开公式 J^H(g,f) = ∑_((I,P,π)∈ΠH) ∫_(i aπ*) J_(I,P,π)^H(g,f,λ) 的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数域 F 上，Rankin–Selberg 球面型 X = GL(n+1)×GL(n)/GL(n) 上的 Rankin–Selberg 周期的细谱分解是什么？
• RQ2 如何对非整齐自守表示的 Rankin–Selberg 周期进行正规化，并将其与 L 函数的特殊值联系起来？
• RQ3 在在 Eisenstein 系列中移动轮廓时出现的精确残量与奇点是什么，它们如何贡献到谱？
• RQ4 如何通过正规化周期将 Jacquet–Rallis 迹公式的谱展开扩展到包含非整齐和残留贡献？
• RQ5 得到的细谱展开公式及其对称性/泛函方程（Rankin–Selberg 周期）是什么？

主要发现

• 为数据 (I,P,π) 属于集合 ΠH 的正规化周期建立了完整的细谱展开。
• 展开将 J^H(g,f) 表示为 ΠH 的和，在 i aπ* 上积分 J_(I,P,π)^H(g,f,λ)，且具有绝对收敛性。
• 为非 Arthur 数据构造了正规化的 Rankin–Selberg 周期 Pπ(φ,λ)，并证明其分解为 L 函数与局部 zeta 的残差。
• 分析 Eisenstein 系列与正规化周期的极点与奇点，包括通过 underlinedrho_π 与 z_r 向量的位移，得到残留贡献。
• 该工作将非整齐的 Gan–Gross–Prasad 设置与精确的谱展开联系起来，并将残量与 Eisenstein 系列及 L 函数的输出相关联。
• 相对特征 J^H_(I,w.P,w.π)(g,f,wλ) 的泛函方程已建立，展示了在 Weyl 群作用下的对称性。