[论文解读] The Finite Element Method for the instationary Gross-Pitaevskii equation with angular momentum rotation

Patrick Henning, Axel Målqvist|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 1

一句话总结

本文提出了一种质量守恒的Crank-Nicolson有限元方法，用于求解具有角动量旋转的非定常Gross-Pitaevskii方程。在正则性假设下，建立了时间方向的最大范数以及空间方向的$L^2$-范数和能量范数下的最优收敛率，并通过数值实验进行了验证。

ABSTRACT

We consider the time-dependent Gross-Pitaevskii equation describing the dynamics of rotating Bose-Einstein condensates and its discretization with the finite element method. We analyze a mass conserving Crank-Nicolson-type discretization and prove corresponding a priori error estimates with respect to the maximum norm in time and the $L^2$- and energy-norm in space. The estimates show that we obtain optimal convergence rates under the assumption of additional regularity for the solution to the Gross-Pitaevskii equation. We demonstrate the performance of the method in numerical experiments.

研究动机与目标

• 开发一种能够保持质量守恒的数值格式，用于求解具有旋转效应的时间依赖Gross-Pitaevskii方程。
• 分析有限元空间离散化在时间和空间方向上的收敛性质。
• 在时间方向的最大范数以及空间方向的$L^2$-范数和能量范数下，建立先验误差估计。
• 通过旋转凝聚体动力学的数值实验，验证理论结果。

提出的方法

• 采用Crank-Nicolson型时间离散化，以确保有限元格式中的质量守恒。
• 空间离散化采用符合有限元方法的Galerkin有限元法。
• 该方法被设计为保持解的$L^2$-范数，从而确保质量守恒。
• 在时间方向的最大范数和空间方向的$L^2$-范数与能量范数下进行误差分析。
• 在精确解具有额外正则性的假设下，推导出理论收敛速率。
• 通过数值实验演示该方法的性能，并验证理论收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有旋转效应的非定常Gross-Pitaevskii方程，质量守恒的有限元格式的收敛行为如何？
• RQ2 是否能在时间方向的最大范数以及空间方向的$L^2$-范数和能量范数下实现最优收敛速率？
• RQ3 解的正则性如何影响有限元方法的收敛性质？
• RQ4 该格式在模拟旋转玻色-爱斯坦凝聚体时的性能如何？
• RQ5 数值结果是否与理论误差估计一致？

主要发现

• 在额外正则性假设下，时间方向的最大范数以及空间方向的$L^2$-范数和能量范数下均实现了最优收敛速率。
• 由于采用了Crank-Nicolson型时间离散化，有限元方法能够保持质量守恒。
• 通过先验分析推导出误差估计，在解正则性的标准假设下建立了收敛性。
• 数值实验验证了所提格式的理论收敛速率。
• 该方法能以高精度有效捕捉旋转玻色-爱斯坦凝聚体的动力学行为。