[论文解读] The finite gap method and the analytic description of the exact rogue wave recurrence in the periodic NLS Cauchy problem. 1

P. G. Grinevich, P. M. Santini|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文应用有限间隙方法，对具有单一不稳定模态的周期NLS初值问题中的 rogue 波精确重复现象进行解析描述。结果表明，解在线性与非线性调制不稳定性阶段之间确定性地交替，每个非线性阶段均由 Akhmediev 1-块状解精确描述，其参数通过初值以初等函数完全确定。

ABSTRACT

The focusing NLS equation is the simplest universal model describing the modulation instability (MI) of quasi monochromatic waves in weakly nonlinear media, considered the main physical mechanism for the appearance of rogue (anomalous) waves (RWs) in Nature. In this paper we study, using the finite gap method, the NLS Cauchy problem for periodic initial perturbations of the unstable background solution of NLS exciting just one of the unstable modes. We distinguish two cases. In the case in which only the corresponding unstable gap is theoretically open, the solution describes an exact deterministic alternate recurrence of linear and nonlinear stages of MI, and the nonlinear RW stages are described by the 1-breather Akhmediev solution, whose parameters, different at each RW appearance, are always given in terms of the initial data through elementary functions. If the number of unstable modes is >1, this uniform in t dynamics is sensibly affected by perturbations due to numerics and/or real experiments, provoking O(1) corrections to the result. In the second case in which more than one unstable gap is open, a detailed investigation of all these gaps is necessary to get a uniform in $t$ dynamics, and this study is postponed to a subsequent paper. It is however possible to obtain the elementary description of the first nonlinear stage of MI, given again by the Akhmediev 1-breather solution, and how perturbations due to numerics and/or real experiments can affect this result.

研究动机与目标

• 使用有限间隙方法，对周期NLS初值问题中rogue波的精确重复现象进行解析描述。
• 表征调制不稳定性中线性与非线性阶段之间的确定性交替行为。
• 推导每个rogue波出现时刻Akhmediev 1-块状解的显式、初等函数参数化表达式。
• 评估当存在多个不稳定模态时，数值或实验扰动对重复性的鲁棒性影响。
• 为多不稳定模态情况下的rogue波重复现象建立统一描述的基础。

提出的方法

• 将有限间隙方法应用于具有小、光滑、零均值初始扰动的周期域上的NLS初值问题。
• 通过从初始扰动的傅里叶分量导出的谱数据，在亏格g=2的黎曼面上使用雅可比θ函数构造解。
• 通过追踪黎曼环面上的相位移，分析动力学行为，从而导出重复性的周期条件。
• 该方法识别出解何时返回仅相差一个相位因子的状态，从而实现重复周期的计算。
• 建议使用匹配渐近展开作为激发所有不稳定模态的通用初值的替代方法。
• 从涉及谱参数和初值的有限间隙表达式中，推导出重复周期$T_p$、空间位移$ abla x$和相位增量$ ho$的关键公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用有限间隙方法对周期NLS初值问题中rogue波的精确重复现象进行解析描述？
• RQ2 每个rogue波事件中Akhmediev 1-块状解的参数如何从初值确定？
• RQ3 开放不稳定间隙的数量在重复动力学的稳定性和均匀性中起什么作用？
• RQ4 当存在多个不稳定模态时，数值或实验扰动如何影响确定性重复？
• RQ5 能否在整个时间区间内使用初等函数对重复动力学进行统一描述？

主要发现

• 对于单一不稳定模态，解在调制不稳定性线性与非线性阶段之间表现出确定性的交替重复。
• 每个非线性阶段均由Akhmediev 1-块状解精确描述，其参数通过初值以初等函数计算得出。
• 重复周期$T_p$由$T_p = \frac{1}{\sigma_n} \log\left[\frac{\sigma_n^4}{4|\alpha_n\beta_n|}\right]$给出，该式源自有限间隙谱数据。
• 空间位移$\Delta_x = \frac{\arg(\alpha_n\beta_n)}{k_n}$和相位增量$\rho = 2T_p + 4\phi_n$均从初值显式计算得出。
• 当存在多个不稳定模态时，由于扰动引入$O(1)$阶修正，均匀动力学被破坏，需采用更复杂的分析方法。
• 通过θ函数的周期性，确认了解在相位因子意义下的周期性，即$u(x+\Delta_x, t+T_p) = \exp(i\rho)u(x,t)$。