[论文解读] The first and second fundamental theorems of invariant theory for the quantum general linear supergroup

Yang Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过构建一个非交换多项式超代数 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 作为经典超对称代数的量子类比，首次建立了量子一般线性超群 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ 的不变量理论的一、二 fundamental 定理。利用量子 Howe 对偶，证明了 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不变子代数是有限生成的，确定了其生成元，并识别出生成元之间的关系，当且仅当 $m \geq \min\{k,r\}$ 且 $n \geq \min\{l,s\}$ 时，该子代数同构于一个辫状超对称代数。

ABSTRACT

We develop the non-commutative polynomial version of the invariant theory for the quantum general linear supergroup ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. A non-commutative ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-module superalgebra $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ is constructed, which is the quantum analogue of the supersymmetric algebra over $\mathbb{C}^{k|l}\otimes \mathbb{C}^{m|n}\oplus \mathbb{C}^{r|s}\otimes (\mathbb{C}^{m|n})^{\ast}$. We analyse the structure of the subalgebra of ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-invariants in $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ by using the quantum super analogue of Howe duality. The subalgebra of ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-invariants in $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ is shown to be finitely generated. We determine its generators and establish a surjective superalgebra homomorphism from a braided supersymmetric algebra onto it. This establishes the first fundamental theorem of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. We show that the above mentioned superalgebra homomorphism is an isomorphism if and only if $m\geq \min\{k,r\}$ and $n\geq \min\{l,s\}$, and obtain a monomial basis for the subalgebra of invariants in this case. When the homomorphism is not injective, we give a representation theoretical description of the generating elements of the kernel associated to the partition $((m+1)^{n+1})$, producing the second fundamental theorem of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. We consider two applications of our results. A complete treatment of the non-commutative polynomial version of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m})$ is obtained as the special case with $n=0$, where an explicit SFT is proved, which we believe to be new. The FFT and SFT of the invariant theory for the general linear superalgebra are recovered from the classical (i.e., $q o 1$) limit of our results.

研究动机与目标

• 为量子一般线性超群 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ 构建一个非交换多项式不变量理论版本。
• 在 $\mathbb{C}^{k|l} \otimes \mathbb{C}^{m|n} \oplus \mathbb{C}^{r|s} \otimes (\mathbb{C}^{m|n})^*$ 上构造经典超对称代数的量子类比 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$。
• 确定 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 中 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不变子代数的有限生成元集，确立第一 fundamental 定理。
• 描述不变子代数生成元之间的代数关系，从而得出第二 fundamental 定理。
• 在 $q \to 1$ 极限下恢复 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 的经典 FFT 与 SFT，并对 $n=0$ 情况（即 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_m)$）给出完整处理。

提出的方法

• 利用辫状超对称代数，将非交换 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-模超代数 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 构造为经典超对称代数的量子形变。
• 应用量子超代数的 Howe 对偶类比，分析 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 中 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不变子代数的结构。
• 建立从辫状超对称代数到不变子代数的满超代数同态，证明第一 fundamental 定理。
• 证明该同态是同构当且仅当 $m \geq \min\{k,r\}$ 且 $n \geq \min\{l,s\}$，并在该情况下构造 PBW 基。
• 当同态非单射时，从表示论角度描述核，以确定生成元之间的关系，从而证明第二 fundamental 定理。
• 通过取量子结果的 $q \to 1$ 极限，恢复 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 的经典 FFT 与 SFT。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换设定下，是否存在一个合适的量子多项式超代数 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$，使其作为经典超对称代数 $\mathcal{S}^{k|l}_{r|s}$ 的量子形变？
• RQ2 在 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 中，$\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不变子代数的结构是什么？尽管存在非交换性，为何其仍为有限生成？
• RQ3 从辫状超对称代数到不变子代数的自然同态在何时为同构？此时其 PBW 基如何构造？
• RQ4 当同态非单射时，不变子代数生成元之间的代数关系是什么？
• RQ5 量子 FFT 与 SFT 对于 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ 在 $q \to 1$ 极限下如何还原为经典结果？

主要发现

• 通过量子 Howe 对偶，$\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 中 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不变子代数是有限生成的，且其生成元已明确确定。
• 存在从辫状超对称代数到不变子代数的满超代数同态，从而确立第一 fundamental 定理。
• 该同态是同构当且仅当 $m \geq \min\{k,r\}$ 且 $n \geq \min\{l,s\}$，此时构造了不变子代数的 PBW 基。
• 当同态非单射时，其核从表示论角度被描述，从而得到生成元之间的关系，证明了第二 fundamental 定理。
• 在 $q \to 1$ 极限下，量子结果恢复了 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 的经典 FFT 与 SFT。
• 当 $n=0$ 时，得到 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_m)$ 的非交换不变量理论的完整处理，其中给出了一个显式 SFT，据信为新结果。