[论文解读] The first five years of the AAA algorithm

Yuji Nakatsukasa, Olivier Sète+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2023

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 5

一句话总结

该论文提出AAA算法，一种用于实数或复数域上函数的快速且鲁棒的有理逼近方法，通过自适应选择插值点和采用双线性有理表示实现。该方法通过AAA-LS方法实现了拉普拉斯方程及相关偏微分方程的高精度求解，可在1秒内达到约7×10⁻⁷的精度，且所用有理函数远比多项式更高效。

ABSTRACT

The AAA algorithm, introduced in 2018, computes best or near-best rational approximations to functions or data on subsets of the real line or the complex plane. It is much faster and more robust than previous algorithms for such problems and has been used in many applications since its appearance, including the numerical solution of Laplace, Poisson, and biharmonic PDE problems in irregular domains. AAA has also been extended in new directions and seems likely to be a tool of lasting importance in the future.

研究动机与目标

• 提出AAA算法作为在实数或复数域上计算函数近似最优有理逼近的快速且数值稳定的计算方法。
• 展示该算法在速度、鲁棒性以及在复杂和不规则域上的适用性方面优于以往方法。
• 通过AAA-Lawson方法将AAA扩展至极小化最大误差（最佳）逼近，实现在复杂环境下的最优有理逼近。
• 开发AAA-LS方法，通过将极点分离至域内部和外部，实现对拉普拉斯问题和双调和问题的求解。
• 确立有理逼近作为求解偏微分方程、黎曼–希尔伯特问题及其他含奇点问题的基础工具。

提出的方法

• AAA算法采用如下双线性有理表示形式 $ r(z) = \sum_{j=1}^{m} \frac{w_j f(s_j)}{z - s_j} \Big/ \sum_{j=1}^{m} \frac{w_j}{z - s_j} $，即使在极点和零点聚集时也能实现稳定计算。
• 其交替执行非线性贪心步骤（在最大误差位置选择下一个支撑点）与线性SVD基础步骤（计算最优双线性权重）。
• AAA-Lawson方法通过迭代重新加权最小二乘法（IRLS）将近似最优逼近进一步优化为极小化最大误差（最佳）逼近。
• AAA-LS方法将AAA逼近函数的极点划分为域 $ \Omega $ 内部和外部，仅保留外部极点以构建求解拉普拉斯问题的最小二乘基。
• 每个外部极点为最小二乘矩阵贡献两列（实部与虚部），从而实现狄利克雷问题的高效求解。
• 该方法利用了当 $ s_j \notin \Omega $ 时，$ 1/(z - s_j) $ 在 $ \Omega $ 内形成调和函数的良好基底，从而实现高精度、低次数的有理解。

Figure 1: Phase portrait of the Riemann zeta function (right) compared with that of a rational approximation based on $100$ sample points in the right half-plane (left). The AAA algorithm computes this approximation in $0.1$ s on a laptop.

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使有理逼近在复杂或不规则域上既快速又鲁棒，特别是在极点靠近奇点时？
• RQ2 AAA算法能否扩展至在复杂域中计算极小化最大误差（最佳）有理逼近，而传统方法在此类场景下会失效？
• RQ3 尽管域内存在极点，有理逼近如何被高效用于求解拉普拉斯方程及相关偏微分方程？
• RQ4 在构建边界值问题的精确解时，将极点分离至域内与域外的理论与实际作用是什么？
• RQ5 AAA在有理逼近中取得成功后，是否对其他非线性逼近问题（如高斯拟合）具有更广泛的影响？

主要发现

• AAA算法在0.002秒内完成对单位圆上 $ \exp(z) $ 的7次有理逼近，最大误差为 $ 2.81 \times 10^{-15} $。
• 对于黎曼ζ函数，AAA在0.1秒内利用100个采样点完成37次有理逼近，准确匹配前两个非平凡零点至8位有效数字。
• AAA-LS方法在约1秒内以约 $ 7 \times 10^{-7} $ 的精度求解五叶形域上的拉普拉斯问题，使用含125个极点的有理函数，每点求值耗时约1 μs。
• AAA-Lawson方法在复杂域中实现极小化最大误差有理逼近，误差曲线表现出近似恒定模长与预期的绕数 $ 2n+1 $，符合最佳逼近理论。
• 该方法支持解析延拓、共形映射及非线性特征值问题的求解，在信号处理、磁学和湍流模拟中具有应用价值。
• AAA-LS方法通过利用轮廓上极点的分离特性，为求解维纳–霍普夫问题和黎曼–希尔伯特问题提供了新的、高效的框架。

Figure 2: The image on the left shows the error curve $(f-r)(Z)$ for best degree $n=4$ approximation of $e^{z}$ on the unit square by the AAA-Lawson algorithm [ 12 , 30 ] . The image on the right shows $|(f-r)(z)|$ as a function of $\hbox{\rm arg}(z)$ . The error curve is a curve of winding number $