[论文解读] The first Hochschild (co)homology when adding arrows to a bound quiver algebra

Claude Cibils, Marcelo Lanzilotta+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 1

一句话总结

本文建立了一种公式，用于计算在有关系的箭头图代数中添加新箭头时，第一个Hochschild上同调维数的变化，利用一个将相对上同调与绝对上同调联系起来的短正合列。研究证明，当不产生相对环路时，第一个Hochschild同调保持不变，为quiver代数的形变与表示理论提供了精确的代数不变量。

ABSTRACT

We provide a formula for the change of the dimension of the first Hoch\\-schild cohomology vector space of bound quiver algebras when adding new arrows. For this purpose we show that there exists a short exact sequence which relates the first cohomology vector spaces of the algebras to the first relative cohomology. Moreover, we show that the first Hochschild homologies are isomorphic when adding new arrows.

研究动机与目标

• 确定在有关系的箭头图代数中添加新箭头时，第一个Hochschild上同调空间维数的变化方式。
• 通过相对上同调建立原始代数与扩展代数之间第一个Hochschild上同调的短正合列。
• 证明当添加新箭头而不产生相对环路时，第一个Hochschild同调保持不变。
• 为有限维域上代数的HH¹维数变化提供一个明确的公式。

提出的方法

• 构建一个短正合列，通过相对上同调 H¹(BF|B, ·) 将扩展代数 BF 与原始代数 B 的第一个Hochschild上同调联系起来。
• 利用 BF 是 B 上以 B-双模 N（对应新箭头）为基的张量代数的事实，从而获得长度为一的相对投射解析。
• 应用Hochschild与Kaygun的Jacobi-Zariski长正合列框架，验证在度数一的短正合列。
• 使用定理4.8中的解析计算维数，该定理给出了张量代数 T = TB(N) = BF 的投射解析。
• 通过标准同构与双模同调计算，推导出 H¹(BF|B, BF) 与 H¹(B, BF) 的维数公式。
• 对短正合列进行对偶化，以分析Hochschild同调，证明当不产生相对环路时，H¹(BF|B, Y) = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不产生相对环路的条件下，向有关系的箭头图代数添加新箭头时，第一个Hochschild上同调空间维数如何变化？
• RQ2 在添加箭头后，原始代数与扩展代数之间第一个Hochschild上同调的精确代数关系是什么？
• RQ3 第一个Hochschild同调在添加新箭头时是否保持不变？在何种条件下？
• RQ4 HH¹ 的变化是否可由涉及相对路径与双模同态的公式表达？

主要发现

• 维数变化量 ∆ = dimkHH¹(BF) − dimkHH¹(B) 由一个公式给出，该公式涉及长度 ≥1 的相对路径数量以及原始箭头图中路径空间的维数。
• 当新箭头不产生相对环路时，扩展代数 BF 的第一个Hochschild上同调同构于原始代数 B 的第一个Hochschild上同调。
• 当 BF 为有限维且不产生相对环路时，第一个Hochschild同调空间在添加箭头后保持不变：HH¹(BF) ≅ HH¹(B)。
• 相对上同调 H¹(BF|B, BF) 当且仅当新箭头中不存在相对环路时为零，这是同调不变性的关键条件。
• dimkHH¹(BF) 的公式源自从 HomB−B(N, BF) 到 BF 的 B-不变部分的映射的余核，其维数通过相对路径类显式计算。
• 作为主公式的一个副产品，本文还给出了无环路的箭头图 Q 的 dimkHH¹(kQ) 的新计算结果。