[论文解读] The first $L^p$-cohomology of some finitely generated groups and $p$-harmonic functions

Michael J. Puls|ArXiv.org|Sep 7, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文建立了有限生成群的一阶 $L^p$-上同调与 $p$-次调和函数之间的联系，表明对于多项式增长次数 $d > p \geq 2$ 的群，非零上同调类可由 $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$ 中的函数表示。此外，本文证明了对于非阿贝尔群，当 $p' \geq p$ 时，有 $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$，突显了其与阿贝尔群的关键区别。

ABSTRACT

Let $G$ be a finitely generated infinite group and let $p > 1$. In this paper we make a connection between the first $L^p$-cohomology space of $G$ and $p$-harmonic functions on $G$. We also describe the elements in the first $L^p$-cohomology space of groups with polynomial growth, and we give an inclusion result for nonamenable groups.

研究动机与目标

• 建立有限生成群的一阶 $L^p$-上同调与 $p$-次调和函数之间的联系。
• 刻画具有多项式增长的群的一阶 $L^p$-上同调空间中的元素。
• 研究非阿贝尔群的 $H^1(G, L^p(G))$ 与 $H^1(G, L^{p'}(G))$ 之间的包含关系。
• 阐明 $p$-次调和函数在 $L^p$-上同调空间结构中的作用。

提出的方法

• 使用群环 $\mathbb{R}G$ 与卷积，定义在右平移下具有 $p$-可积差分的函数空间 $D^p(G)$。
• 基于对称生成集 $S$ 中每个 $s$ 的 $f*(s-1)$ 的 $L^p$-范数，定义 $D^p(G)$ 上的范数，并商掉常数以形成 $D^p(G)/\mathbb{R}$。
• 应用约化上同调 $\overline{H}^1_{(p)}(G)$ 的理论，并将 $D^p(G)$ 分解为 $\overline{\mathbb{R}G}_{D^p(G)}$ 与 $HD^p(G)$（即调和函数空间）。
• 利用多项式增长群中条件 $(IS)_d$ 与 $S_d$ 的等价性，将上同调与 $L^r$-空间中的可积性联系起来。
• 利用 $HD^p(G) = \mathbb{R}$ 对于多项式增长群的性质，将非平凡上同调类与非平凡常数函数分离。
• 在 $D^p(G)$ 与 $L^r(G)$ 中应用逼近论证，证明 $\mathbb{R}G$ 中序列的极限在 $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$ 中收敛，从而确立了更高可积性类中的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限生成群的一阶 $L^p$-上同调与 $p$-次调和函数之间有何关系？
• RQ2 对于多项式增长次数为 $d$ 的群，$H^1(G, L^p(G))$ 中非零类的代表元属于哪个 $L^r$-空间？
• RQ3 当 $p' > p$ 时，非阿贝尔群是否满足 $H^1(G, L^p(G))$ 嵌入到 $H^1(G, L^{p'}(G))$ 中？
• RQ4 $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$ 的包含关系在阿贝尔群中是否可能不成立？

主要发现

• 对于具有多项式增长次数 $d > p \geq 2$ 的有限生成群 $G$，定理 5.4 表明，$H^1(G, L^p(G))$ 中的每个非零类均可由 $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$ 中的函数表示。
• $G$ 上的 $p$-次调和函数空间 $HD^p(G)$ 等于 $\mathbb{R}$，这表明非平凡上同调类源于 $D^p(G)$ 中的非常数函数。
• 对于非阿贝尔群，命题 6.2 证明了对所有 $p' \geq p$，有 $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$。
• 该包含关系在阿贝尔群中不成立：存在属于 $D^p(\mathbb{Z})$ 的函数，其在 $H^1(\mathbb{Z}, L^p(\mathbb{Z}))$ 中表示非零类，但在 $H^1(\mathbb{Z}, L^{p'}(\mathbb{Z}))$ 中属于零类（$p' > p$），如第 6 节中的例子所示。
• $D^p(G)/\mathbb{R}$ 上的范数等价于 $\|f\|_{D(p)} = \left(\sum_{s \in S} \|f*(s-1)\|_p^p\right)^{1/p}$，且该范数与对称生成集 $S$ 的选择无关。
• 当群 $G$ 具有次数 $d > p$ 的多项式增长时，$\overline{\mathbb{R}G}_{D^p(G)}$ 是 $D^p(G)$ 的真子空间，这意味着非平凡上同调类无法由 $L^p$-函数表示。