[论文解读] The Fisher-Hartwig Formula and Generalized Entropies in XY Spin Chain

A. R. Its, V. E. Korepin|ArXiv.org|Jun 24, 2009

Quantum many-body systems参考文献 76被引用 4

一句话总结

该论文应用Fisher-Hartwig公式计算XY自旋链基态中一大段自旋的纠缠熵与Rényi熵。推导出约化密度矩阵本征值及其简并度的精确渐近表达式，揭示其谱由模形式支配，并导致纠缠熵出现与非简并参数有关的普遍对数发散。

ABSTRACT

Toeplitz matrices have applications to different problems of statistical mechanics. Recently they were used for calculation of entanglement entropy in spin chains. We use the Fisher-Hartwig formula to calculate entanglement entropy of large block of spins in the ground state of XY spin chain. We also calculate Renyi entropy and prove that the spectrum of the density matrix of a block of spins is exact geometric sequence [also different eigenvalues are degenerated differently].

研究动机与目标

• 计算XY自旋链基态中自旋块的冯·诺依曼熵与Rényi熵。
• 利用Toeplitz行列式渐近展开，推导约化密度矩阵本征值及其简并度的渐近行为。
• 通过Fisher-Hartwig公式，建立约化密度矩阵谱与模形式之间的联系。
• 分析大块极限下纠缠熵的行为，确定其普遍的对数标度特性。
• 将该方法扩展至各向同性（XX）与各向异性（XY）情形，区分磁场不同区域下的行为。

提出的方法

• 使用Fisher-Hartwig公式分析与自旋块约化密度矩阵相关的Toeplitz行列式渐近行为。
• 通过密度矩阵的谱性质，将Rényi熵生成函数表示为模形式的乘积。
• 将具有矩阵值符号的块Toeplitz行列式渐近展开应用于各向异性XY模型。
• 通过将密度矩阵的zeta函数与模函数及theta级数关联，推导约化密度矩阵的本征值谱。
• 利用分拆数乘法性的生成函数，表征大块极限下本征值简并度的特性。
• 利用theta函数的模变换性质，提取本征值简并度在 $ n \to \infty $ 时的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在XY自旋链基态中，大块自旋的Rényi熵的渐近行为是什么？
• RQ2 在XY模型中，约化密度矩阵的本征值与简并度如何随块大小变化？
• RQ3 在XY链中，纠缠熵对各向异性参数与磁场的依赖关系如何？
• RQ4 能否通过模形式与特殊函数完全表征约化密度矩阵的谱？
• RQ5 在大块极限下，纠缠熵的行为如何？主导对数项的系数是什么？

主要发现

• 当 $ h > 2 $ 时，约化密度矩阵的本征值为 $ \lambda_n = e^{-\pi\tau_0 n + \frac{\pi\tau_0}{12} + \frac{1}{6}\ln\frac{k k'}{4}} $，其简并度 $ a_n $ 满足 $ a_n \sim 2^{-3/2}3^{-1/4}n^{-3/4}e^{\pi\sqrt{n/3}} $，当 $ n \to \infty $ 时。
• 当 $ h < 2 $ 时，本征值为 $ \lambda_n = e^{-2\pi\tau_0 n - \frac{\pi\tau_0}{6} + \frac{1}{6}\ln\frac{k'}{4k^2}} $，其简并度为 $ 2b_n $，其中 $ b_n $ 表示将整数划分为互异整数的分拆数。
• Rényi熵 $ S(\rho_A, \alpha) $ 通过zeta函数 $ \zeta_{\rho_A}(\alpha) = \sum_n a_n \lambda_n^\alpha $ 推导得出，该函数可表示为模形式。
• 冯·诺依曼熵在大块极限下表现出普遍的对数发散，主导项由模参数 $ \tau_0 $ 决定。
• 约化密度矩阵的谱由与Dedekind eta函数及theta函数相关的生成函数完全表征。
• 该方法适用于各向同性（XX）与各向异性（XY）情形，其渐近形式因磁场强度相对于2的不同而有所区别。