[论文解读] The Fitzpatrick function - a bridge between convex analysis and multivalued stochastic differential equations

Aurel Rùascanu, Eduard Rotenstein|ArXiv.org|Sep 25, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新颖的变分方法，用于求解由极大单调算子驱动的前向与后向多值随机微分方程（SDEs），利用Fitzpatrick函数将解的存在性问题转化为凸最小化问题。主要贡献在于构建了一个统一框架，通过最小化凸的下半连续泛函来证明解的存在性，从而将结果从次微分算子推广至一般极大单调算子。

ABSTRACT

Using the Fitzpatrick function, we characterize the solutions for different classes of deterministic and stochastic differential equations driven by maximal monotone operators (or in particular subdifferential operators) as the minimum point of a suitably chosen convex lower semicontinuous function. Such technique provides a new approach for the existence of the solutions for the considered equations.

研究动机与目标

• 解决在已知次微分情形之外，一般极大单调算子驱动的后向随机微分方程解的存在性这一开放问题。
• 通过凸分析统一处理由极大单调算子驱动的前向与后向SDEs。
• 通过Fitzpatrick函数将方程约化为凸最小化问题，提供此类方程的新存在性证明。
• 将凸分析技术的应用范围扩展至具有多值漂移的随机方程。
• 建立解的变分表征，即作为适当构造的凸泛函的极小化子。

提出的方法

• 利用Fitzpatrick函数将极大单调算子表示为凸函数，从而实现SDE的变分公式化。
• 前向与后向SDE的解被表征为定义在随机过程上的凸的、下半连续泛函的极小化子。
• 作为建立前向方程解存在性的关键中间步骤，分析了一个广义的Skorohod问题。
• 该方法依赖于泛函J的凸性与下半连续性，其被证明是凸下半连续函数的上确界。
• 通过适当函数空间中的紧致性与下半连续性论证，证明了极小化子的存在性。
• 通过验证极小化子满足通过Fitzpatrick表示的次微分包含条件，证明了解满足原始SDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用Fitzpatrick函数通过凸最小化方法建立具有极大单调漂移的前向SDE解的存在性？
• RQ2 该变分方法能否扩展至一般极大单调算子驱动的后向SDEs，而不仅限于次微分情形？
• RQ3 Fitzpatrick函数如何实现对前向与后向随机方程的统一处理？
• RQ4 哪一个精确的凸泛函，其极小化子对应于SDE的解？
• RQ5 在何种条件下，凸泛函的极小化子满足原始随机微分包含条件？

主要发现

• 前向SDE (1)的解被表征为定义在适应过程上的凸的、下半连续泛函的极小化子。
• 对于后向SDE (2)，证明了解是某一凸泛函的极小化子，从而将存在性结果推广至次微分情形之外。
• Fitzpatrick函数提供了极大单调算子的变分表示，使得SDE解的存在性问题可约化为凸最小化问题。
• 泛函极小化子满足次微分包含条件，从而确认其为原始SDE的解。
• 该方法在统一框架下建立了前向与后向方程的解的存在性，即使算子并非次微分算子亦成立。
• 泛函的凸性与下半连续性确保了极小化子的存在，其对应于随机微分方程的解。