[论文解读] The fixed angle conjecture for QAOA on regular MaxCut graphs

Jonathan Wurtz, Danylo Lykov|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文为正则MaxCut图中QAOA的固定角度猜想提供了数值证据，表明预计算的通用角度可在所有不超过16个顶点的3-正则图上实现高近似比。这些固定角度避免了变分优化，实现了更快的执行速度，并在p ≥ 11时优于Goemans-Williamson算法。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is a near-term combinatorial optimization algorithm suitable for noisy quantum devices. However, little is known about performance guarantees for $p>2$. A recent work \cite{Wurtz_guarantee} computing MaxCut performance guarantees for 3-regular graphs conjectures that any $d$-regular graph evaluated at particular fixed angles has an approximation ratio greater than some worst-case guarantee. In this work, we provide numerical evidence for this fixed angle conjecture for $p<12$. We compute and provide these angles via numerical optimization and tensor networks. These fixed angles serve for an optimization-free version of QAOA, and have universally good performance on any 3 regular graph. Heuristic evidence is presented for the fixed angle conjecture on graph ensembles, which suggests that these fixed angles are ``close" to global optimum. Under the fixed angle conjecture, QAOA has a larger performance guarantee than the Goemans Williamson algorithm on 3-regular graphs for $p\geq 11$.

研究动机与目标

• 研究在d-正则MaxCut图上是否存在一组通用的固定角度，可保证所有实例的高近似比。
• 确定这些固定角度是否可作为变分优化的有效初始猜测，从而减少对经典优化循环的依赖。
• 评估在3-正则图上，当p ≥ 11时，使用固定角度的QAOA是否能获得优于最佳经典MaxCut求解器（Goemans-Williamson）的性能保证。
• 探索QAOA参数景观的结构，特别是固定角度在图集合中与全局最优值的接近程度。
• 提供一种计算高效、预先计算的参数集合，确保无需迭代优化即可实现稳健性能。

提出的方法

• 使用张量网络模拟数值优化QAOA参数，以计算大规模正则MaxCut图的期望值。
• 在无小环的最坏情况图上通过优化计算固定角度，基于大环猜想。
• 在所有不超过16个顶点的3-正则图上评估固定角度的近似比，以检验固定角度猜想。
• 将固定角度的性能与梯度上升优化角度进行比较，以评估其与全局最优值的接近程度。
• 利用张量网络高效分解局部QAOA态，并计算大规模图的期望值。
• 分析参数空间结构，包括固定角度与优化角度之间的欧氏距离，以评估其与吸引盆的接近程度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一组固定角度，可保证对所有d-正则MaxCut图（无论图结构如何）均实现高近似比？
• RQ2 这些固定角度是否可作为变分优化的有效热启动，显著缩短收敛时间？
• RQ3 在哪些p值下，使用固定角度的QAOA在近似比保证方面优于Goemans-Williamson算法？
• RQ4 在图集合中，固定角度与QAOA能量景观的全局最优值有多接近？
• RQ5 参数空间的哪些结构特性可解释最优角度的集中现象以及固定角度QAOA的成功？

主要发现

• 对于所有不超过16个顶点的3-正则图，固定角度猜想成立，未发现任何违反性能保证的实例。
• 当p ≥ 11时，使用固定角度的QAOA实现的性能保证优于Goemans-Williamson算法，即目前最佳的经典MaxCut求解器。
• 当p = 2时，固定角度近似比与全局最优值的平均差异小于0.003，表明其与最优性能高度接近。
• 固定角度通常位于与全局最优值相同的吸引盆内，解释了参数在不同图之间可迁移的观察现象。
• 固定角度平滑且类似于反绝热协议，暗示平滑的参数演化与最优性能之间可能存在关联。
• 使用固定角度可实现无需优化的QAOA执行，与变分优化相比，潜在运行速度提升100至1000倍。