[论文解读] The flip is often discontinuous

Volker Runde|ArXiv.org|Feb 28, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文证明了在具有逼近性质的自反Banach空间 $E$ 上的紧算子代数 $\mathcal{K}(E)$ 的初等算子代数 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上，翻转自同构是不连续的，除非 $\dim E < \infty$。该结果源于 $\mathcal{K}(E)$ 的二阶对偶上Arens乘积的不重合，当 $E$ 为无限维时，$\mathcal{K}(E)$ 不具备Arens正则性，这意味着翻转无法连续延拓至紧算子。该研究解决了长期存在的开放问题，表明在无限维情况下翻转通常不连续。

ABSTRACT

Let $A$ be a Banach algebra. The flip on $A \otimes A^\op$ is defined through $A \otimes A^\op i a ensor b \mapsto b ensor a$. If $A$ is ultraprime, $\El(A)$, the algebra of all elementary operators on $A$, can be algebraically identified with $A \otimes A^\op$, so that the flip is well defined on $\El(\A)$. We show that the flip on $\El(A)$ is discontinuous if $A = K(E)$ for a reflexive Banach space $E$ with the approximation property.

研究动机与目标

• 解决关于超素Banach代数 $\mathfrak{A}$ 上 $\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 的翻转是否连续的开放问题。
• 研究具有逼近性质的自反Banach空间 $E$ 上，$\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上翻转映射的连续性。
• 确定 $\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 上的翻转能连续延拓至二阶对偶的条件。
• 阐明Arens乘积与自反性在算子代数上翻转连续性中的作用。

提出的方法

• 利用超素Banach代数 $\mathcal{A}$ 上 $\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 与 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{A})$ 之间的典范代数同构，使得 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{A})$ 上的翻转得以定义。
• 将翻转定义为由 $\mathcal{K}(E) \otimes \mathcal{K}(E)^{\mathrm{op}}$ 中张量因子交换所诱导的反自同态 $T \mapsto T^\top$，其对应于初等算子上的转置。
• 应用二阶对偶上Arens乘积的理论：当 $E$ 为无限维且自反时，$\mathcal{K}(E)^{**}$ 上的第一和第二Arens乘积被证明是不同的。
• 利用 $\mathcal{K}(E)^{**} \cong \mathcal{B}(E^{**})$ 以及第二Arens乘积由 $S \circ_2 T = (j^* \circ S^{**} \circ i^{**}) \circ T$ 给出的事实，其中 $i, j$ 为典范嵌入。
• 证明第二Arens乘积仅当 $E$ 自反时才有单位元，且该单位元为 $\mathrm{id}_{E^{**}}$，但除非 $E$ 为有限维，否则它并非双侧单位元。
• 利用 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 在 $\mathcal{K}(\mathcal{K}(E))$ 中的稠密性，以及 $\mathcal{K}(E)$ 在无限维下非Arens正则性，得出翻转无法连续延拓的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有逼近性质的自反Banach空间 $E$，$\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上的翻转是否连续？
• RQ2 在何种条件下，$\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 上的翻转能连续延拓至 $\mathcal{K}(E)$ 的二阶对偶？
• RQ3 $\mathcal{K}(E)^{**}$ 上的第一与第二Arens乘积如何与翻转的连续性相关？
• RQ4 $\mathcal{K}(E)$ 中存在有界逼近单位元是否意味着 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上翻转的连续性？
• RQ5 当 $\mathfrak{A}$ 包含 $\mathcal{K}(E)$ 且 $\dim E = \infty$ 时，$\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 上的翻转是否可能连续？

主要发现

• 若 $E$ 为具有逼近性质的无限维自反Banach空间，则 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上的翻转是不连续的。
• 翻转在 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上连续当且仅当 $\dim E < \infty$，确立了明确的二分性。
• 第二Arens乘积在 $\mathcal{K}(E)^{**}$ 上有单位元当且仅当 $E$ 自反，这是翻转能连续延拓的必要条件。
• 典范同构 $\mathcal{K}(E)^{**} \cong \mathcal{B}(E^{**})$ 暗示 $\mathcal{K}(E)$ 仅当 $\dim E < \infty$ 时为Arens正则，这等价于翻转的连续性。
• 对于具有逼近性质的自反 $E$，代数 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 在 $\mathcal{K}(\mathcal{K}(E))$ 中是范数稠密的，使得翻转可延拓至紧算子。
• 在无限维下，$\mathcal{K}(E)^{**}$ 上第二Arens乘积与第一Arens乘积不重合，意味着翻转在 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上不可能连续。