[论文解读] The Flux Limited Keller-Segel System; Properties and Derivation from Kinetic Equations

Benoı̂t Perthame, Nicolas Vauchelet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文在趋化响应刚性假设下，从描述细菌跑动-转向运动的动能方程推导出通量限制型基勒-塞格尔（FLKS）系统。与经典基勒-塞格尔模型不同，本文证明了解的全局存在性，并建立了径向对称稳态解的存在性以及解向平衡态的长时间收敛性。

ABSTRACT

The flux limited Keller-Segel (FLKS) system is a macroscopic model describing bacteria motion by chemotaxis which takes into account saturation of the velocity. The hyper-bolic form and some special parabolic forms have been derived from kinetic equations describing the run and tumble process for bacterial motion. The FLKS model also has the advantage that traveling pulse solutions exist as observed experimentally. It has attracted the attention of many authors recently. We design and prove a general derivation of the FLKS departing from a kinetic model under stiffness assumption of the chemotactic response and rescaling the kinetic equation according to this stiffness parameter. Unlike the classical Keller-Segel system, solutions of the FLKS system do not blow-up in finite or infinite time. Then we investigate the existence of radially symmetric steady state and long time behaviour of this flux limited Keller-Segel system.

研究动机与目标

• 从描述细菌跑动-转向运动的动能方程推导出通量限制型基勒-塞格尔（FLKS）系统作为宏观极限。
• 建立FLKS系统的全局解存在性，避免经典基勒-塞格尔模型中常见的有限时间爆破现象。
• 研究FLKS系统中径向对称稳态解的存在性。
• 分析解的长时间渐近行为，包括收敛到平衡态。
• 通过在刚性标度下的动能模型渐近分析，严格证明通量限制机制的作用。

提出的方法

• 从具有速度跳跃过程的动能方程出发，假设趋化响应具有刚性，推导FLKS系统。
• 基于一个小刚性参数的奇异标度，对动能方程进行处理，得到一个抛物极限，从而导出FLKS系统。
• 利用与化学信号时间导数相关的转向核，以模拟方向感知和趋化响应。
• 运用杜哈梅尔原理和格林函数估计，控制化学信号梯度在$L^p$空间中的范数。
• 应用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和杨卷积不等式，将化学信号梯度的范数以细胞密度表示。
• 使用奇异格朗沃尔不等式控制解的增长，建立长时间行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从细菌运动的动能模型严格推导出通量限制型基勒-塞格尔系统？
• RQ2 FLKS系统是否具有全局时间解，而不会发生有限时间爆破？
• RQ3 FLKS系统中径向对称稳态解的结构与存在性如何？
• RQ4 FLKS系统解在长时间极限下的行为如何？
• RQ5 通量限制在防止爆破和实现稳定行进脉冲解中起什么作用？

主要发现

• 在趋化响应的刚性标度下，FLKS系统被证明是动能方程的抛物极限。
• 由于通量限制机制的存在，FLKS系统的解具有全局时间存在性，从而避免了爆破现象。
• 趋化通量函数$\phi(|\nabla S|)$有界，确保在高梯度环境中速度饱和。
• 在通量函数和参数满足适当条件时，FLKS系统存在径向对称稳态解。
• 当$t \to \infty$时，解收敛到平衡态，收敛速率取决于化学信号和初始数据在$L^p$空间中的衰减速率。
• 通过贝塞尔和泊松势，以及杨不等式和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，推导出$\|\nabla S\|_{L^p}$的估计。