[论文解读] The forgotten monoid

Jean-Christophe Novelli, Anne Schilling|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文刻画了遗忘幺半群（forgotten monoid），这是一个由关系 $acb \equiv bac$ 和 $bca \equiv cab$（其中 $a < b < c$）在排列上定义的等价关系所生成的组合结构。论文证明在 $S_n$ 中存在 $n^2 - 3n + 4$ 个遗忘类，每个类由逆序数和 1 与 $n$ 的相对顺序唯一确定，并表明每个类上 Gessel 的拟对称函数之和是 ribbon Schur 函数的 0-1 和。

ABSTRACT

We study properties of the forgotten monoid which appeared in work of Lascoux and Schutzenberger and recently resurfaced in the construction of dual equivalence graphs by Assaf. In particular, we provide an explicit characterization of the forgotten classes in terms of inversion numbers and show that there are n^2-3n+4 forgotten classes in the symmetric group S_n. Each forgotten class contains a canonical element that can be characterized by pattern avoidance. We also show that the sum of Gessel's quasi-symmetric functions over a forgotten class is a 0-1 sum of ribbon-Schur functions.

研究动机与目标

• 重新表述并刻画遗忘幺半群，该结构最初由 Lascoux 和 Schützenberger 引入，后在对偶等价图中被重新发现。
• 确定对称群 $S_n$ 中遗忘等价类的确切数量及其结构性质。
• 建立遗忘类与拟对称函数之间的联系，特别是证明其和为 ribbon Schur 函数的无重数和。
• 证明 Zabrocki 关于这些类在拟对称函数方面的结构的猜想。

提出的方法

• 通过两个关系定义遗忘幺半群：对所有 $a < b < c$，有 $acb \equiv bac$ 和 $bca \equiv cab$，在排列上生成等价类。
• 通过逆序数和排列中元素 1 与 $n$ 的相对顺序来刻画每个遗忘类。
• 将每个类中的字典序最小元素识别为典范代表元，其特征为避免 132 和 231 模式。
• 利用对合 $\mathrm{NS}(\sigma) = (\Phi(\sigma^{-1}))^{-1}$，其中 $\Phi$ 是从回退组合到下降组合的映射，将遗忘类与已知的组合对象联系起来。
• 应用 Schützenberger 对合和 $\mathbf{FQSym}$ 的霍普夫代数结构，计算遗忘类在到 $\mathrm{QSym}$ 的交换投影下的像。
• 通过 $V$-排列或 $\Lambda$-排列的回退组合，证明遗忘类上 Gessel 拟对称函数之和等于系数为 0 或 1 的 ribbon Schur 函数之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对称群 $S_n$ 中，遗忘等价类共有多少个？
• RQ2 哪些组合不变量刻画了遗忘类——特别是哪些性质在遗忘关系下保持不变？
• RQ3 遗忘类上 Gessel 拟对称函数之和如何与对称函数代数相关联？
• RQ4 遗忘类的结构能否通过避免特定模式的排列或典范代表元来描述？
• RQ5 遗忘类上拟对称函数之和是否产生 ribbon Schur 函数的无重数和？

主要发现

• 在对称群 $S_n$ 中，恰好存在 $n^2 - 3n + 4$ 个遗忘类。
• 两个排列属于同一遗忘类，当且仅当它们具有相同的逆序数和相同的 1 与 $n$ 的相对顺序。
• 每个遗忘类包含唯一的典范元素，该元素为字典序最小且避免 132 和 231 模式的排列。
• 遗忘类上 Gessel 拟对称函数之和是 ribbon Schur 函数的 0-1 和，即无重数和。
• 在霍普夫代数 $\mathbf{FQSym}$ 中，遗忘类的取值在投影到 $\mathrm{QSym}$ 时，等于由该类中 $V$-排列的回退组合所索引的 ribbon Schur 函数之和。
• 该结果证实了 Zabrocki 关于这些和在拟对称函数方面的结构的猜想。