[论文解读] The Forgotten Quantum Number: A short note on the radial modes of Laguerre-Gauss beams

William N. Plick, Radek Łapkiewicz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Orbital Angular Momentum in Optics参考文献 1被引用 26

一句话总结

本文为拉盖尔-高斯（LG）光束中的径向量子数 $n$ 建立了微分算符形式，该参数虽在光束结构与稳定性中起重要作用，却长期被忽视。研究表明，$n$ 对应于径向方差和相速度的量子化，并推测梯度折射率光纤可能保持 $n$-模态，从而利用 $n$ 作为稳定自由度实现鲁棒的高维量子通信。

ABSTRACT

The orbital angular momentum quantum number of Laguerre-Gauss beams has received an explosively increasing amount of attention over the past twenty years. However, often overlooked is the so-called radial number of these beams. We present a derivation of the differential operator formalism of this "forgotten" quantum number. We then draw some connections between this new formalism and the effect the radial number has on beam stability with possible application to quantum communication. We also briefly outline how the radial number is tied to other physical aspects of the beam (such as the Gouy phase, and radial confinement). These do not necessarily constitute finished results, but are instead meant to stimulate discussion of this interesting and often overlooked physical parameter.

研究动机与目标

• 解决拉盖尔-高斯（LG）光束中径向量子数 $n$ 长期被忽视的物理意义问题。
• 推导出一个作用于径向模式的微分算符形式，使其以 $n$ 为本征值。
• 探讨 $n$ 与光束物理特性（如径向方差、戈伊相移和相速度）之间的关联。
• 研究 $n$-模态是否可在梯度折射率光纤等光学系统中保持，以用于量子信息应用。
• 激发关于 $n$ 作为高维量子通信中潜在自由度的讨论。

提出的方法

• 推导出一个在横向坐标 ($r$, $\phi$) 上作用于 LG 光束振幅的二阶微分算符，其本征值为 $n$。
• 利用广义拉盖尔多项式微分恒等式，从已知的 $\partial/\partial x$、$\partial^2/\partial x^2$ 和 $\partial/\partial \phi$ 关系中构造算符 $\hat{N}_o$。
• 通过从 $x = 2r^2/w_o$ 到物理柱坐标系的坐标变换，将算符表达为柱坐标形式。
• 分析算符结构，发现其与谐振子哈密顿量高度相似，暗示具有类似动力学的系统中 $n$-模态可能被保留。
• 利用拉盖尔多项式的正交性分析径向方差 $\triangle^2 r$，明确显示其对 $n$ 和 $l$ 的依赖关系。
• 通过横向拉普拉斯算子研究 LG 光束的相速度，利用公式 (19) 将其与 $n$ 和 $l$ 关联，表明在 $z=0$ 处相速度具有量子化依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉盖尔-高斯光束中径向量子数 $n$ 的物理意义是什么？
• RQ2 能否构造一个其本征值对应于径向模数 $n$ 的微分算符？
• RQ3 径向数 $n$ 如何与戈伊相移和横向空间局域化相关联？
• RQ4 在梯度折射率光纤等光学系统中，$n$-模态是否可在传播过程中保持？
• RQ5 $n$ 在光束稳定性和量子通信鲁棒性中扮演何种角色？

主要发现

• 径向量子数 $n$ 由柱坐标系中的二阶微分算符 $\hat{N}_o$ 量子化，LG 模式为其本征态，$n$ 为其本征值。
• 光束的径向方差被量子化为 $\triangle^2 r = \frac{2n + l + 1}{2} w_z^2$，明确将 $n$ 与横向展宽联系起来。
• 在 $z=0$ 和 $r = w_o$ 处，LG 光束的相速度满足 $c^2 - v_p^2 = -\frac{4v_p^2}{k_o^2 w_o^2}(2n + l)$，表明其对 $n$ 和 $l$ 具有量子化依赖性。
• $n$-模态算符 $\hat{N}_o$ 与谐振子哈密顿量高度相似，暗示在具有类似动力学的系统中 $n$-模态可能被保留。
• 梯度折射率光纤可能因其中哈密顿量与 $\hat{N}_o$ 的相似性，而内在地保持 $n$-模态，从而实现稳定高维量子复 multiplexing。
• 可能存在与 $n$ 相伴的共轭变量，其与戈伊相移相关，提示 $n$ 与空间局域化之间可能存在新型不确定性关系。