[论文解读] The foundations of p-convexity and p-plurisubharmonicity in riemannian geometry

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Point processes and geometric inequalities被引用 6

一句话总结

本文在黎曼几何中的p-凸几何领域建立了基础性结果，证明了局部p-凸性蕴含全局p-凸性（类比于Levi问题），通过p-包络和核心刻画了极小p维电流的支撑，并完全描述了p-正定矩阵凸锥的极射线——为复几何与几何分析中的应用提供了关键框架。

ABSTRACT

Three results in p-convex geometry are established. First is the analogue of the Levi problem in several complex variables, namely: local p-convexity implies global p-convexity. The second asserts that the support of a minimal p-dimensional current is contained in the p-hull of the boundary union with the core of the space. Lastly, the exteme rays in the convex cone of p-positive matrices are characterized. This is a basic result with many applications.

研究动机与目标

• 在黎曼流形的p-凸性背景下，建立Levi问题的几何类比。
• 通过边界p-包络与空间核心来刻画极小p维电流的支撑。
• 完全描述p-正定矩阵凸锥中的极射线，这是基本的结构性结果。
• 为黎曼几何中p-拟凸性与p-凸性的理论基础提供支持，具有广泛适用性。

提出的方法

• 将多复变分析中的技术适配到黎曼几何，以证明局部p-凸性蕴含全局p-凸性。
• 运用几何测度论中的电流理论与对偶性来分析极小p维电流。
• 应用凸几何与矩阵理论来刻画p-正定矩阵锥的极射线。
• 利用空间的p-包络与核心概念来描述电流的支撑结构。
• 利用微分几何、凸性与矩阵空间中正则性条件之间的相互作用。
• 在p-正定矩阵锥中建立几何凸性与代数正则性之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼流形中的局部p-凸性是否蕴含全局p-凸性，类比于Levi问题？
• RQ2 极小p维电流的支撑相对于空间边界与核心位于何处？
• RQ3 p-正定矩阵凸锥的极射线是什么？如何从几何上刻画它们？
• RQ4 在黎曼流形的背景下，p-凸性与p-拟凸性如何相互作用？
• RQ5 p-正定矩阵的哪些结构性质支撑了p-凸集的凸几何？

主要发现

• 局部p-凸性蕴含全局p-凸性，确立了经典Levi问题在黎曼几何中的类比。
• 任何极小p维电流的支撑都包含在边界p-包络与空间核心的并集中。
• p-正定矩阵凸锥的极射线被完全刻画，为其边界结构提供了基础性描述。
• 这些结果建立了一个连贯的框架，将p-凸性、电流理论与矩阵正则性在黎曼几何中联系起来。
• 极射线的刻画为在几何与分析语境中分析正则性与凸性提供了工具。
• 几何凸性与矩阵正则性之间的相互作用，使得在拟凸几何与几何分析中产生新的应用成为可能。