[论文解读] The fourth moment of Dirichlet $L$-functions along a coset and the Weyl bound

Ian Petrow, Matthew P. Young|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2019

Analytic Number Theory Research被引用 5

一句话总结

本文為所有狄利克雷 $L$-函數在臨界點建立了威爾（Weyl）強度的次凸界，消除了此前對導子為立方自由的限制。透過證明在狄利克雷字符的陪集上 $L$-函數四階矩的 Lindelöf 平均上界，作者擴展了其先前的工作，運用高階自守形式與 $q$-方陎的對偶性，最終達成最佳的 $O(q^{1/6+\varepsilon})$ 次凸界。

ABSTRACT

We prove a Lindelöf-on-average upper bound for the fourth moment of Dirichlet $L$-functions of conductor $q$ along a coset of the subgroup of characters modulo $d$ when $q^*|d$, where $q^*$ is the least positive integer such that $q^2|(q^*)^3$. As a consequence, we finish the previous work of the authors and establish a Weyl-strength subconvex bound for all Dirichlet $L$-functions with no restrictions on the conductor.

研究动机与目标

• 為所有本原狄利克雷 $L$-函數建立威爾強度的次凸界，不論導子結構為何。
• 消除先前限制作者先前關於立方矩結果適用性的立方自由導子假設。
• 證明模 $d$ 的字符陪集中 $L$-函數四階矩的 Lindelöf 平均上界，其中 $q^* \nmid d$。
• 透過分析奇異字符貢獻，將 $q$-方陎的對偶方法擴展至非立方自由導子。
• 透過統一處理矩方法中阿基米德與非阿基米德貢獻，完成狄利克雷 $L$-函數的次凸性計畫。

提出的方法

• 應用布魯蓋曼-庫茲涅佐夫公式與泊松求和，將立方矩轉化為包含字符和 $g(\theta, \rho)$ 的對偶矩。
• 以 $\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi) \ll q^{2+\varepsilon}$ 作為核心解析估計。
• 透過乘法結構與 $p$-進方法分析字符和 $g(\chi, \psi)$，特別針對 $q = p^3$ 時出現的奇異字符。
• 應用 $\ell$-進層理論與德利涅的黎曼假設，對 $q = p$ 界定 $g(\chi, \psi)$，並對 $q = p^2$ 使用初等估計。
• 透過梅林反演與譜分解，分離扭曲 $L$-函數中的極點項，控制艾森斯坦級數貢獻。
• 使用二元分解與譜分解控制 $h \equiv 0 \pmod{d}$ 的和，利用對 $S_{\text{Maass}}, S_{\text{hol}}, S_{\text{Eis}}$, 和 $S_{\text{Pole}}$ 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假設 $q$ 為立方自由的情況下，為所有模 $q$ 的本原狄利克雷特徵 $\chi$ 建立威爾界 $L(1/2 + it, \chi) \ll (q(1+|t|))^{1/6+\varepsilon}$？
• RQ2 當 $q$ 非立方自由時，特別是 $q = p^3$ 時，四階矩 $\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi)$ 的行為為何？
• RQ3 模 $q = p^3$（其中 $p \equiv 1 \pmod{4}$）的奇異特徵 $\psi$ 如何影響對偶性與矩估計？
• RQ4 能否透過新的矩估計，將基於 $L(1/2, \pi \otimes \chi) \geq 0$ 的正性論證推廣至立方自由以外的情況？
• RQ5 艾森斯坦級數項中的極點貢獻 $S_{\text{Pole}}$ 的精確大小為何？其是否仍在允許的誤差容限內？

主要发现

• 本文為所有模 $q$ 的本原狄利克雷特徵 $\chi$ 建立了威爾界 $L(1/2 + it, \chi) \ll_{\varepsilon} (q(1+|t|))^{1/6+\varepsilon}$，且對導子無任何限制。
• 作者證明了四階矩的 Lindelöf 平均上界：$\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi) \ll_{\varepsilon} q^{2+\varepsilon}$，即使 $q$ 非立方自由亦成立。
• 對於 $q = p^3$ 且 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的情況，存在 $2(p-1)$ 個奇異特徵 $\psi$，使得 $|g(\chi, \psi)| = p^{1/2} q$，這些透過對和的精細分解處理。
• 極點貢獻 $S_{\text{Pole}}(\chi)$ 的界為 $O(d^{-1/8} \cdot \frac{NH}{q} (Nq)^\varepsilon)$，其大小足夠小，不影響主項。
• 馬斯、全純與艾森斯坦貢獻的界透過二元分解與譜分析統一，所有項均受 $O((Nq)^\varepsilon N q^{-1} H)$ 控制。
• 最終估計確認，譜和中 $h \equiv 0 \pmod{d}$ 的和受 $O((Nq)^\varepsilon N q^{-1} H)$ 控制，從而完成定理 1.5 的證明，進而完成定理 1.1。