[论文解读] The Fractional Local Metric Dimension of Graphs

Hira Benish, Muhammad Murtaza+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了图的分数局部度量维数（FLMD）作为局部度量维数的松弛形式，通过函数 f: V → [0,1] 为顶点分配权重，使得对每条边 xy，满足 f(L(xy)) ≥ 1，其中 L(xy) 是局部分辨邻域。主要贡献在于刻画了 FLMD = |V(G)|/2 的图，并为笛卡尔积与强积的 FLMD 建立了紧致界，包括 K₂ □ Cₙ 和 G □ Kₙ 的精确值。

ABSTRACT

The fractional versions of graph theoretic-invariants multiply the range of applications in scheduling, assignment and operational research problems. In this paper, we introduce the fractional version of local metric dimension of graphs. The local resolving neighborhood $L(xy)$ of an edge $xy$ of a graph $G$ is the set of those vertices in $G$ which resolve the vertices $x$ and $y$. A function $f:V(G) ightarrow[0, 1]$ is a local resolving function of $G$ if $f(L(xy))\geq1$ for all edges $xy$ in $G$. The minimum value of $f(V(G))$ among all local resolving functions $f$ of $G$ is the fractional local metric dimension of $G$. We study the properties and bounds of fractional local metric dimension of graphs and give some characterization results. We determine the fractional local metric dimension of strong and cartesian product of graphs.

研究动机与目标

• 引入并形式化分数局部度量维数作为图的新不变量。
• 刻画分数局部度量维数等于顶点数一半的图。
• 为图积（特别是笛卡尔积与强积）的分数局部度量维数建立界与精确值。
• 将分数局部度量维数与分数度量维数进行比较，并突出其行为差异。

提出的方法

• 定义一个局部分辨函数 f: V(G) → [0,1]，使得对每条边 xy，其在局部分辨邻域 L(xy) 上的 f 值之和至少为 1。
• 将分数局部度量维数形式化为所有此类局部分辨函数中总权重 |f| = Σf(v) 的最小值。
• 使用线性规划松弛技术分析并界定分数局部度量维数。
• 利用真孪点与顶点邻域的性质推导结构刻画。
• 通过组合论证与邻域包含关系推导图积的界。
• 通过构造（如在 G□Kₙ 上统一赋权 f(v) = 1/(2m)）证明界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图 G，其分数局部度量维数等于 |V(G)|/2？
• RQ2 图的分数局部度量维数如何与其中局部度量维数和分数度量维数相关？
• RQ3 笛卡尔积与强积的分数局部度量维数的精确值是什么？
• RQ4 能否为图积的分数局部度量维数建立紧致下界？
• RQ5 当 ldim_f(H) = n/2 时，何时 bound ldim_f(G□H) ≥ n/2 是紧致的？

主要发现

• 分数局部度量维数等于 |V(G)|/2 的图被刻画为每个顶点都有一个真孪点的图。
• 分数局部度量维数满足 ldim_f(G) ≤ ldim(G) ≤ |V(G)| − 1，且 ldim_f(G) = 1 当且仅当 G 是二分图。
• 对于 K₂ □ Cₙ 且 n 为奇数且 n ≥ 3 时，分数局部度量维数恰好为 n/(n−1)。
• 对于 G □ Kₙ 且 |V(G)| < n 时，分数局部度量维数恰好为 n/2。
• 当 ldim_f(H) = n/2 时，不等式 ldim_f(G□H) ≥ n/2 成立，且该界是紧致的，如在 G□Kₙ 上的构造所示。
• 对于 K_k □ K_n 且 2 ≤ k ≤ n 且 n ≥ 3 时，分数局部度量维数恰好为 n/2。