[论文解读] The fractional Schrödinger equation and the infinite potential well - numerical results using the Riesz derivative

Richard Herrmann|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文利用Riesz导数研究了无限势阱中的分数阶薛定谔方程，证明三角函数并非精确本征函数，但在大量子数及α ≈ 2时可提供良好近似。文章推导出能量谱的数值验证型解析近似，并表明当α减小时，本征函数会向势阱壁偏移，凸显了分数阶量子力学中的非局域效应。

ABSTRACT

Based on the Riesz definition of the fractional derivative the fractional Schrödinger equation with an infinite well potential is investigated. First it is shown analytically, that the solutions of the free fractional Schrödinger equation are not eigenfunctions, but good approximations for large k and in the vicinity of α=2. The first lowest eigenfunctions are then calculated numerically and an approximate analytic formula for the level spectrum is derived.

研究动机与目标

• 利用分数阶导数的Riesz定义，分析具有无限势阱的分数阶薛定谔方程。
• 确定在分数阶情形下，如同经典α=2极限情况一样，三角函数是否可作为有效本征函数。
• 在分数阶区域内推导能量级谱的数值精确近似。
• 研究Riesz导数的非局域性对有限区域内本征函数形状与局域化的影响。
• 将解析近似与数值解进行比较，评估其在大k值及接近整数α时的有效性。

提出的方法

• 采用通过实轴上积分定义的Riesz分数阶导数，其核函数为幂律形式w(ξ) = ξ^(-α-1)。
• 将Riesz导数应用于在无限势阱内受限的分段定义波函数（|x| ≤ q）。
• 利用波函数及分数阶导数的泰勒级数展开（展开至N=20阶）进行数值求解。
• 通过逐项系数匹配，求解得到的非线性方程组，以确定能量本征值与系数。
• 通过在x=0处计算分数阶导数并引入超几何函数，推导出能量谱的近似解析公式。
• 通过将数值本征函数与能量本征值同经典三角函数解及所推导近似进行比较，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用Riesz导数时，三角函数是否为具有无限势阱的分数阶薛定谔方程的精确本征函数？
• RQ2 在分数阶情形下，三角函数作为本征函数与能量本征值的近似有多精确，特别是在大k值及α ≈ 2时？
• RQ3 当分数阶参数α低于2时，本征函数的行为如何变化？
• RQ4 能否从Riesz导数作用于试探函数的结果出发，推导出能量谱的闭式解析近似？
• RQ5 Riesz导数中的非局域效应如何改变无限势阱的标准量子力学图像？

主要发现

• 尽管在经典α=2情形下三角函数是本征函数，但在使用Riesz导数时，它们并非具有无限势阱的分数阶薛定谔方程的精确本征函数。
• 对于大量子数k及α ≈ 2的情形，三角函数提供的近似效果越来越好，偏差可忽略不计。
• 所推导的近似能量谱公式（公式2.38）涉及超几何函数₁F₂，能准确预测大k值及接近α=2时的能量本征值。
• 数值解表明，当α减小时，本征函数表现出向势阱壁局域化的趋势，偏离了经典对称形式。
• 在泰勒展开中使用N=20时，数值方法对基态能量的精度达到约0.25%。
• Riesz导数的非局域性使得标准局域近似（如盒子归一化或WKB近似）失效，但在接近经典区域，这些近似仍具实用价值。