[论文解读] The fragmentation process of an infinite recursive tree and Ornstein-Uhlenbeck type processes

Erich Baur, Jean Bertoin|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 19

一句话总结

本文研究了在指数时间点独立移除边时，无限随机递归树的碎片化过程，导致一个非交换的分划值过程。尽管缺乏交换性且标准的分裂测度可积性条件不成立，作者引入了时间依赖的归一化以定义块权重，表明这些权重的过程行为类似于分支Ornstein-Uhlenbeck过程，并渐近收敛到独立的指数分布。

ABSTRACT

We consider a natural destruction process of an infinite recursive tree by removing each edge after an independent exponential time. The destruction up to time t is encoded by a partition $\\Pi$(t) of N into blocks of connected vertices. Despite the lack of exchangeability, just like for an exchangeable fragmentation process, the process $\\Pi$ is Markovian with transitions determined by a splitting rates measure r. However, somewhat surprisingly, r fails to fulfill the usual integrability condition for the dislocation measure of exchangeable fragmentations. We further observe that a time-dependent normalization enables us to define the weights of the blocks of $\\Pi$(t). We study the process of these weights and point at connections with Ornstein-Uhlenbeck type processes.

研究动机与目标

• 分析无限递归树中由于随机边删除而产生的碎片化过程。
• 理解尽管缺乏交换性，分划值过程Π(t)的结构。
• 通过时间依赖的归一化定义并研究Π(t)中块的权重。
• 建立块权重过程与Ornstein-Uhlenbeck型过程之间的联系。
• 利用与Yule过程和Pólya瓮模型的联系，推导权重的显式分布性质。

提出的方法

• 将无限递归树建模为一个增长的随机结构，其中每个新顶点以均匀随机方式连接到已有顶点。
• 通过在指数时间点独立移除每条边来定义破坏过程，从而在时间上演化出ℕ的分划Π(t)。
• 引入时间依赖的归一化以赋予Π(t)的块有意义的“权重”，定义为limₙ→∞ n^{e^{-t}} # {i ≤ n : i ∈ B(t)}。
• 利用与Yule过程和Pólya瓮模型的联系，推导固定时间t时块权重的联合分布。
• 应用矩生成函数和beta-gamma恒等式分析权重的渐近行为。
• 通过取对数变换对权重过程进行变换，揭示其与分支Ornstein-Uhlenbeck过程的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边在独立的指数时间点被移除时，无限递归树的碎片化过程如何表现？
• RQ2 为何分裂速率测度不满足交换碎片化标准可积性条件，其影响是什么？
• RQ3 尽管缺乏交换性，能否为分划Π(t)的块赋予有意义的“权重”概念？
• RQ4 当t → ∞时，块权重的极限分布是什么？
• RQ5 块权重过程与Ornstein-Uhlenbeck型过程有何关联？

主要发现

• 经过时间依赖的归一化后，块权重过程在t → ∞时依分布收敛到一列独立的指数随机变量。
• 对于固定的t > 0，归一化大小n^{e^{-t}} X_n(t)弱收敛于V^{e^{-t}} X_1(t)，其中V为与X_1(t)独立的指数随机变量。
• 当t → 0+时，第一个块权重X_1(t)依概率收敛于1，且它几乎必然主导所有其他块权重。
• 在p = e^{-t}的有限递归树中，归一化簇大小的极限是临界的，根簇和次大簇的大小均为n^{e^{-t}}量级。
• 块权重过程的对数变换行为类似于分支Ornstein-Uhlenbeck过程，将其与已知的随机过程联系起来。
• 在时间t时，前j+1个块权重的联合矩在t → ∞时收敛于∏_{i=1}^{j+1} Γ(q_i + 1)，证实其收敛于独立的指数分布。