[论文解读] The free energy of a quantum Sherrington-Kirkpatrick spin-glass model for weak disorder

Hajo Leschke, Sebastian Rothlauf+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Theoretical and Computational Physics参考文献 95被引用 9

一句话总结

本文将经典自旋玻璃结果严格推广至具有横向场的量子Sherrington-Kirkpatrick模型，证明在弱 disorder（v < 1/β）条件下，淬火自由能以概率几乎必然等于 annealed 自由能，意味着不存在自旋玻璃相。通过基于泊松过程的费曼-卡茨路径积分表示，推导出宏观 annealed 自由能为某一泛函的全局最小值，以显式泰勒系数和误差界计算至 (βv)^4 阶。

ABSTRACT

We extend two rigorous results of Aizenman, Lebowitz, and Ruelle in their pioneering paper of 1987 on the Sherrington-Kirkpatrick spin-glass model without external magnetic field to the quantum case with a "transverse field" of strength $b$. More precisely, if the Gaussian disorder is weak in the sense that its standard deviation $v>0$ is smaller than the temperature $1/\beta$, then the (random) free energy almost surely equals the annealed free energy in the macroscopic limit and there is no spin-glass phase for any $b/v\geq0$. The macroscopic annealed free energy (times $\beta$) turns out to be non-trivial and given, for any $\beta v>0$, by the global minimum of a certain functional of square-integrable functions on the unit square according to a Varadhan large-deviation principle. For $\beta v<1$ we determine this minimum up to the order $(\beta v)^4$ with the Taylor coefficients explicitly given as functions of $\beta b$ and with a remainder not exceeding $(\beta v)^6/16$. As a by-product we prove that the so-called static approximation to the minimization problem yields the wrong $\beta b$-dependence even to lowest order. Our main tool for dealing with the non-commutativity of the spin-operator components is a probabilistic representation of the Boltzmann-Gibbs operator by a Feynman-Kac (path-integral) formula based on an independent collection of Poisson processes in the positive half-line with common rate $\beta b$. Its essence dates back to Kac in 1956, but the formula was published only in 1989 by Gaveau and Schulman.

研究动机与目标

• 将 Aizenman、Lebowitz 和 Ruelle 于 1987 年对经典 SK 模型的结果推广至具有横向场的量子情形。
• 在弱 disorder 条件下，建立宏观极限中淬火自由能与 annealed 自由能以概率几乎必然相等。
• 基于大偏差原理，通过变分法推导出宏观 annealed 自由能的显式表达式。
• 证明静态近似即使在主导阶也无法正确捕捉 βb 依赖关系。
• 发展并应用基于泊松过程的随机费曼-卡茨表示法，以处理非对易自旋算符。

提出的方法

• 利用速率 βb 的独立泊松过程为基础，建立费曼-卡茨路径积分公式，表示玻尔兹曼-吉布斯算符。
• 应用 Varadhan 的大偏差原理，将宏观 annealed 自由能表示为在单位正方形上平方可积函数空间上泛函的全局最小值。
• 通过迹的自旋翻转表示，将 annealed 自由能表示为路径上随机平均的形式。
• 利用 Jensen-Peierls-Bogolyubov 不等式证明自由能关于 disorder 的利普希茨连续性，从而支持大偏差估计。
• 将变分泛函展开至 (βv)^4 阶，显式计算系数作为 βb 的函数。
• 通过验证表明，静态近似即使在主导阶也产生错误的 βb 依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱 disorder 条件下，具有横向场的量子 SK 模型的淬火自由能是否在宏观极限下等于 annealed 自由能？
• RQ2 宏观 annealed 自由能的显式形式如何通过变分原理表示？
• RQ3 自由能的 βb 依赖关系与静态近似预测的有何偏差？
• RQ4 基于泊松过程的概率费曼-卡茨表示能否处理量子自旋玻璃模型中的非对易自旋算符？
• RQ5 弱 disorder 条件下，annealed 自由能的主导阶行为如何？误差项的大小是多少？

主要发现

• 在弱 disorder 条件下（v < 1/β），淬火自由能在宏观极限中以概率几乎必然等于 annealed 自由能。
• 宏观 annealed 自由能由单位正方形上 L² 函数空间上泛函的全局最小值给出，符合 Varadhan 的大偏差原理。
• 最小值已计算至 (βv)^4 阶，显式给出泰勒系数，其依赖于 βb，余项有界于 (βv)^6/16。
• 静态近似即使在主导阶也产生错误的 βb 依赖关系，从而否定了其在此参数区域的有效性。
• 基于泊松过程的概率费曼-卡茨公式为处理量子自旋玻璃模型中的非对易自旋算符提供了一个严格工具。
• 推导出自由能的大偏差估计，表明淬火自由能以指数衰减的方式集中在其 annealed 平均值附近，且该集中性随 N 增大而增强。