[论文解读] The Fujita phenomenon in exterior domains under the Robin boundary conditions

Jean-François Rault|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 13

一句话总结

该论文在 $\mathbb{R}^N$ 的外部区域中，针对带有 Robin 边界条件的非线性抛物方程 $\partial_t u = \Delta u + u^p$ 建立了 Fujita 现象。证明了当 $p < 1 + \frac{2}{N}$ 时，所有正解均在有限时间内爆破；而当 $p > 1 + \frac{2}{N}$ 时，若初始数据足够小，则全局存在性是可能的，从而确认在 Robin 条件下临界指数仍为 $1 + \frac{2}{N}$。

ABSTRACT

The Fujita phenomenon for nonlinear parabolic problems dtu = \\deltau + up in an exterior domain of RN under the Robin boundary conditions is investigated in the superlinear case. As in the case of Dirichlet boundary conditions, it turns out that there exists a critical exponent p = 1+2/N such that blow-up of positive solutions always occurs for subcritical exponents, whereas in the supercritical case global existence can occur for small non-negative initial data.

研究动机与目标

• 确定 Fujita 现象——即亚临界 $p$ 时有限时间爆破，超临界 $p$ 时全局存在——是否在外部区域的 Robin 边界条件下依然成立。
• 将 Dirichlet 和 Neumann（或 $\alpha = \infty$）情形下的已知结果推广到一般 Robin 设置下，其中 $\alpha \geq 0$。
• 分析边界条件强度参数 $\alpha$ 在决定临界指数和解的行为方面的作用。

提出的方法

• 通过使用嵌套有界区域 $D_n$（其逐渐覆盖 $\mathbb{R}^N$）的截断过程构造解，且在 $\partial D_n$ 上施加零 Dirichlet 条件。
• 应用比较原理，将解 $u_n$ 控制在常微分方程 $\dot{z} = z^p$，$z(0) = \|\varphi\|_\infty$ 的解 $z$ 之下，从而保证局部 $C^{2,1}$ 收敛。
• 采用上解方法，构造函数 $U(x,t) = A(t+t_0)^{-\mu} \exp\left(-\frac{\|x\|^2}{4(t+t_0)}\right)$，以证明小初始数据下的全局存在性。
• 通过反证法证明爆破：假设全局存在将与对应 Dirichlet 问题的已知爆破结果矛盾。
• 将结果推广至具有变系数的二阶椭圆算子 $L$，包括漂移项和扩散项。
• 分析 PDE 中时间与空间依赖的非线性项 $t^q \|x\|^s u^p$ 的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在外部区域中，Robin 边界条件下，Fujita 指数 $p_c = 1 + \frac{2}{N}$ 是否仍为爆破与全局存在性的分界点？
• RQ2 Robin 参数 $\alpha \geq 0$ 如何影响临界指数及解的长期行为？
• RQ3 当初始数据足够小时，在 Robin 条件下，$p > 1 + \frac{2}{N}$ 时是否可能存在全局解？
• RQ4 椭圆算子 $L$ 中变系数如何影响爆破或全局存在的临界阈值？
• RQ5 时间与空间依赖的非线性项 $t^q \|x\|^s u^p$ 对 Fujita 类行为有何影响？

主要发现

• 当 $p < 1 + \frac{2}{N}$ 时，在给定正则性假设下，无论 Robin 参数 $\alpha \geq 0$ 取值如何，所有非平凡正解均在有限时间内爆破。
• 当 $p = 1 + \frac{2}{N}$ 且 $N \geq 3$ 时，所有非平凡正解同样发生爆破。
• 当 $p > 1 + \frac{2}{N}$ 时，若初始数据 $\varphi$ 足够小，则可通过上解构造证明存在全局正解。
• 即使将拉普拉斯算子替换为具有变系数的一般二阶椭圆算子 $L$，临界指数仍保持为 $1 + \frac{2}{N}$。
• 对于具有 $t^q \|x\|^s u^p$ 非线性项的推广问题，在漂移和扩散项满足适当条件时，当 $1 < p < 1 + \frac{2 + 2q + s}{N}$ 时发生爆破。
• 当 $p > 1 + \frac{2 + 2q + s}{2\gamma_0}$ 且 $\gamma_0 = \inf_{\overline{\Omega}} \left( \text{trace}(A) + l^* \right) > 0$ 时，若初始数据足够小，则全局存在性是可能的。