[论文解读] The full four-loop cusp anomalous dimension in $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills and QCD

Johannes M. Henn, G.P. Korchemsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Black Holes and Theoretical Physics被引用 13

一句话总结

本文给出了在 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论和量子色动力学（QCD）中四圈截面异常维数的完整解析计算，解决了最后一个缺失的非平面贡献。通过一个带拉格朗日插入项的矩形类光威尔逊代数环相关函数，作者计算了有限比值，对插入位置进行积分以提取四圈紫外发散，并应用超对称分解导出完整的QCD结果，包括四次卡西米尓项。

ABSTRACT

We present the complete formula for the cusp anomalous dimension at four loops in QCD and in maximally supersymmetric Yang-Mills. In the latter theory it is given by \begin{equation} Γ^{ m}_{ m cusp}\Big|_{α_s^4} = -\left( \frac{α_s N}π ight)^4 \left[ \frac{73 π^6}{20160} + \frac{ ζ_{3}^2}{8} + \frac{1}{N^2} \left( \frac{31π^6}{5040} + \frac{9 ζ_3^2}{4} ight) ight] \,. onumber \end{equation} Our approach is based on computing the correlation function of a rectangular light-like Wilson loop with a Lagrangian insertion, normalized by the expectation value of the Wilson loop. In maximally supersymmetric Yang-Mills theory, this ratio is a finite function of a cross-ratio and the coupling constant. We compute it to three loops, including the full colour dependence. Integrating over the position of the Lagrangian insertion gives the four-loop Wilson loop. We extract its leading divergence, which determines the four-loop cusp anomalous dimension. Finally, we employ a supersymmetric decomposition to derive the last missing ingredient in the corresponding QCD result.

研究动机与目标

• 计算包含非平面修正的 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论中的完整四圈截面异常维数。
• 推导QCD中的相应结果，完成散射振幅四圈奇点结构的完整描述。
• 识别并计算四次卡西米尓色因子的贡献，该因子在四圈时破坏卡西米尓标度。
• 为QCD和 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论中的高阶重求和与高精度计算提供精确的解析输入。

提出的方法

• 计算带拉格朗日插入项的矩形类光威尔逊代数环相关函数与威尔逊代数环期望值之比，该比值为有限值，依赖于交叉比和耦合常数。
• 利用拉格朗日插入项的结构和色张量，将该比值计算至三圈，包含完整的色依赖性。
• 对拉格朗日插入项的位置进行积分，以提取四圈威尔逊代数环的主导紫外发散。
• 将该发散识别为 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论中四圈截面异常维数的正比项。
• 应用超对称分解，将 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论的结果与QCD结果关联，分离出胶子四次卡西米尓贡献。
• 利用标准群论和色张量收缩，将结果表示为 $C_A$、$C_F$、$T_F$ 以及四次卡西米尓项 $d^{abcd}_R d^{abcd}_A / N_R$ 的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论中，完整的四圈截面异常维数是什么，包括非平面修正？
• RQ2 在四圈时，四次卡西米尓色因子如何贡献于QCD中的截面异常维数？
• RQ3 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论中的非平面修正是否可用于推导四圈QCD截面异常维数中缺失的项？
• RQ4 QCD中的截面异常维数在四圈时是否表现出卡西米尓标度？若否，其破坏的性质是什么？
• RQ5 四圈截面异常维数在 zeta 值和超越常数方面的解析结构如何？

主要发现

• 在 $χ=4$ 超杨–米尔斯理论中，四圈截面异常维数为 $\Gamma_{\rm cusp}|_{\alpha_s^4} = -\left(\frac{\alpha_s N}{\pi}\right)^4 \left[\frac{73\pi^6}{20160} + \frac{\zeta_3^2}{8} + \frac{1}{N^2}\left(\frac{31\pi^6}{5040} + \frac{9\zeta_3^2}{4}\right)\right]$，包含非平面 $1/N^2$ 修正项。
• 结果确认了在非平面修正中存在四次卡西米尓项，该因子在四圈时破坏了卡西米尓标度。
• QCD中胶子四次卡西米尓贡献的解析值为 $-1.97915 \cdot \frac{d^{abcd}_R d^{abcd}_A}{N_R}$，与先前的数值结果一致。
• 对于任意表示 $R$，QCD中四圈截面异常维数现已完整，结果以 $C_A$、$C_F$、$T_F$ 和四次卡西米尓项表示。
• 该结果为QCD散射振幅中下一阶下一阶下一阶对数（N$^3$LL）重求和提供了最后缺失的关键输入。
• 推导出的QCD截面异常维数表达式与Moch等人（2018年）的数值计算结果一致，验证了分析方法的正确性。