[论文解读] The full spectrum of scl on recursively presented groups

Nicolaus Heuer|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文证明了递归表示群上的稳定交换子长度（scl）集合等于所有非负右可计算实数的集合。通过小扩张群和范坎彭图，作者构造了显式群，使得scl值可实现任意非负右可计算数，从而证明scl在减法下不封闭，并完全刻画了此类群中的scl。

ABSTRACT

We show that the set $SCL^{rp}$ of stable commutator lengths on recursively presented groups equals the set of non-negative right-computable numbers. Hence all non-negative algebraic or computable numbers are in $SCL^{rp}$ and $SCL^{rp}$ is not closed under subtraction. We also show that every non-negative real number is the stable commutator length of an element in some infinitely presented small cancellation group.

研究动机与目标

• 确定递归表示群中可能出现的稳定交换子长度（scl）的完整集合。
• 解决卡莱加里关于代数数或非有理数是否可在有限表示群中作为scl值出现的开放问题。
• 证明递归表示群上的scl值集合恰好为非负右可计算实数集合。
• 通过小扩张表示显式构造群，使任意非负右可计算scl值得以实现。
• 证明scl集合在加法下封闭，但在减法下不封闭。

提出的方法

• 将右可计算数定义为上界构成递归可枚举有理数集的实数。
• 从满足比值 m_i/n_i 递减的序列 (m_i), (n_i) 构造一个无限表示的 C'(1/6) 小扩张群。
• 利用曲面上的范坎彭图，通过欧拉示性数与组合复杂度估算scl。
• 证明所构造群中生成元 t 的scl等于极限 lim_{i→∞} m_i/n_i。
• 利用每个非负右可计算实数均可表示为该类极限的事实，实现其作为scl值。
• 通过图灵机构造证明scl值是右可计算的，并且所有此类值均在所构造群中实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些非负实数可作为递归表示群中元素的稳定交换子长度出现？
• RQ2 代数数或非有理数是否可在有限表示或递归表示群中作为scl值出现？
• RQ3 递归表示群上的scl值集合在减法下是否封闭？
• RQ4 每个非负实数是否都可作为某个无限表示的小扩张群中某元素的scl实现？
• RQ5 每个右可计算scl值是否都有有限表示群的实现？

主要发现

• 递归表示群上的稳定交换子长度集合等于非负右可计算实数集合。
• 每个非负可计算数与代数数均在某个递归表示群中实现为scl值。
• scl值集合在加法下封闭，但在减法下不封闭，已通过显式反例证明。
• 对任意满足 α ≥ 0 的右可计算数 α，存在一个无限表示的 C'(1/6) 小扩张群，其中存在元素 t 使得 scl(t) = α。
• 该构造利用序列 (m_i), (n_i) 以递减比值定义递归表示，通过范坎彭图估计证明scl等于 m_i/n_i 的极限。
• 该结果表明，递归表示群中的scl值恰好是那些可从上方算法逼近的实数。