[论文解读] The $β$-function of $SU(3)$ gauge theory with $ N_f = 10 $ massless fermions in the fundamental representation

Ting-Wai Chiu|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用 10

一句话总结

本研究首次通过使用最优域墙费米子的格点模拟，非微扰地确定了具有 $N_f = 10$ 个无质量 fundamental 费米子的 $SU(3)$ 规范理论中的 $β$-函数。采用有限体积梯度流方案与步长缩放方法，发现在 $g^2 \sim 7.0$ 处存在红外固定点，表明该理论具有红外共形性。

ABSTRACT

We present the first study of the discrete $β$-function of the $ SU(3) $ gauge theory with 10 massless domain-wall fermions in the fundamental representation. The renormalized coupling is obtained by the finite-volume gradient flow scheme, and the discrete $β$-function is extrapolated to the continuum limit by the step-scaling method. Our result of the discrete $β$-function (with $ s = 2 $) suggests that this theory possesses an infrared fixed point around $ g_c^2 \sim 7.0 $ for $ c = \sqrt{8t}/L = 0.3 $.

研究动机与目标

• 非微扰地确定具有 $N_f = 10$ 个无质量 fundamental 费米子的 $SU(3)$ 规范理论的跑动耦合常数与 $\beta$-函数。
• 通过寻找红外固定点（IRFP）来检验该理论是否位于共形窗口内。
• 应用有限体积梯度流方案，其中 $c = \sqrt{8t}/L = 0.3$，以在有限格点上计算重整化耦合常数。
• 利用步长缩放方法，将离散的 $\beta$-函数外推至连续极限。
• 为确定不同 $N_f$ 下 $SU(3)$ 规范理论的共形窗口奠定基础。

提出的方法

• 使用最优 $R_5$-对称形式化模拟具有 10 个无质量域墙费米子的 $SU(3)$ 规范理论，以保持规范对称性。
• 采用威尔逊流方法，结合 WWC 方案（威尔逊作用量、威尔逊流、十字观测算符），计算能量密度 $t^2\langle E\rangle$。
• 通过 $g_c^2(L,a) = \frac{16\pi^2}{3[1+\delta(c,a/L)]}\langle t^2E(t)\rangle$ 定义重整化耦合常数，其中 $c = 0.3$。
• 将离散 $\beta$-函数定义为 $\beta(s,a/L,g^2) = -\frac{g^2(sL,a) - g^2(L,a)}{\ln(s^2)}$，其中 $s=2$。
• 应用步长缩放方法，将 $\beta(2,a/L,g^2)$ 外推至连续极限 $a \to 0$。
• 使用六种格点尺寸 $(L/a)^4 = 8^4, 10^4, 12^4, 16^4, 20^4, 24^4$，以及 12 个 $\beta \in [6.45, 15.0]$ 的取值。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $N_f = 10$ 个无质量 fundamental 费米子的 $SU(3)$ 规范理论是否表现出红外固定点？
• RQ2 在何种跑动耦合值下 $\beta$-函数为零，表明理论具有共形行为？
• RQ3 与微扰预测相比，格点离散化的 $\beta$-函数在强耦合区域的行为如何？
• RQ4 有限体积与有限格点间距效应对 $\beta$-函数确定的影响程度如何？
• RQ5 步长缩放方法能否可靠地从 $s=2$ 的格点数据中提取出连续 $\beta$-函数？

主要发现

• 对于 $s=2$ 的离散 $\beta$-函数在 $g^2(L) \approx 5.3$ 处表现出从递减到递增的行为转变，表明可能存在红外固定点。
• 格点 $\beta$-函数在 $g^2 \sim 7.0$ 处达到零交叉，为连续极限下存在红外固定点提供了有力证据。
• 二-loop 与三-loop $\overline{\text{MS}}$ 微扰 $\beta$-函数持续递减，在可访问的耦合范围内未达到 IRFP。
• 三-loop $\beta$-函数出现上翘趋势，并在 $g^2 \approx 10.6$ 处达到 IRFP，但该值超出了当前模拟的范围。
• 结果与该理论具有红外共形性一致，支持 $N_f = 10$ 时存在共形窗口。
• 本研究计划将模拟扩展至 $32^4$ 格点，并加入 $N_f = 8$ 与 $N_f = 12$ 的额外情形，以完整绘制共形窗口。