[论文解读] The fundamental group of the complement of the singular locus of Lauricella's $F_C$

Yoshiaki Gotō, Jyoichi Kaneko|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文利用范坎彭-萨里斯基定理与雷德迈斯特-施赖埃爾方法，完整给出了三变量Lauricella超几何函数$F_C$的奇点支集补集的基本群的表述。文中识别出三个新关系——(R_ij)、(R_k)与(R_IJ)，这些关系完全生成了当$n=3$时的基本群，并进一步推广至$2^3$-覆叠空间，得到了该覆叠空间基本群的显式11生成元、27个关系的表述。

ABSTRACT

We study the fundamental group of the complement of the singular locus of Lauricella's hypergeometric function $F_C$ of $n$ variables. The singular locus consists of $n$ hyperplanes and a hypersurface of degree $2^{n-1}$ in the complex $n$-space. We derive some relations that holds for general $n\geq 3$. We give an explicit presentation of the fundamental groupin the three-dimensional case. We also consider a presentation of the fundamental group of $2^3$-covering of this space. In the version 2, we omit some of the calculations. For all the calculations, refer to the version 1 (arXiv:1710.09594v1) of this article.

研究动机与目标

• 确定Lauricella的三变量$F_C$奇点支集补集的基本群$\pi_1(X^{(3)})$的一组完整定义关系。
• 将该表述扩展至$2^3$-覆叠空间$\tilde{X}^{(3)}$，该空间成为超平面排列的补集。
• 识别并验证在已知关系(R_ij)与(R_k)之外的新关系，这些关系控制$n \geq 3$时的群结构，特别是三维情形下的情况。
• 通过平面截面与线束方法，系统计算单值关系，将其约化为一组最小的生成元与关系。

提出的方法

• 利用范坎彭-萨里斯基定理，通过将空间分解为开集并分析围绕奇点除数的环路单值关系，计算$\pi_1(X^{(3)})$。
• 定义围绕坐标超平面与奇点超曲面$S^{(3)}$的基环路$\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$，并给出明确的路径构造。
• 引入一类新关系(R_IJ)，涉及$\gamma_0$对$\gamma_i$乘积的共轭，适用于满足$p+q \leq n-1$的不相交指标集$I, J$。
• 应用雷德迈斯特-施赖埃爾方法，计算$2^3$-覆叠空间$\tilde{X}^{(3)}$的基本群，该空间将奇点超曲面分解为超平面排列。
• 识别出11个生成元$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_0, \lambda_0^{(i)}, \lambda_0^{(ij)}, \lambda_0^{(123)}$，对应于覆叠空间中的环路。
• 验证27个定义关系，包括$\lambda_i$之间的交换性、$\lambda_0^{(i)}$之间的交换性，以及$\lambda_0^{(ij)}$与共轭$\lambda_i$之间的混合交换性，还包括涉及$\lambda_0^{(123)}$的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$n \geq 3$，在已知关系(R_ij)与(R_k)之外，还有哪些额外关系控制基本群$\pi_1(X^{(n)})$？
• RQ2 基本群$\pi_1(X^{(3)})$是否能仅通过关系(R_ij)、(R_k)与新关系(R_IJ)完全表述？
• RQ3 基本群$\pi_1(\tilde{X}^{(3)})$与原始群$\pi_1(X^{(3)})$之间有何关系？
• RQ4 覆叠空间$\tilde{X}^{(3)}$的基本群的结构如何？能否显式地用生成元与关系表述？

主要发现

• 基本群$\pi_1(X^{(3)})$由生成元$\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$及关系(R_ij)、(R_k)与(R_IJ)完全表述，无需额外关系。
• 新关系(R_IJ)对所有满足$|I|, |J| \geq 1$且$|I| + |J| \leq 2$的不相交指标集$I, J \subset \{1,2,3\}$成立，且在$n=3$时的完整表述中至关重要。
• $2^3$-覆叠空间$\tilde{X}^{(3)}$是超平面排列的补集，其基本群$\pi_1(\tilde{X}^{(3)})$具有11个生成元与27个定义关系的表述。
• $\pi_1(\tilde{X}^{(3)})$中的27个关系包括$\lambda_i$之间的交换性、$\lambda_0^{(i)}$之间的交换性、$\lambda_0^{(ij)}$之间的交换性，以及涉及共轭与三重交点的混合交换性。
• 关系(5.58)–(5.60)源自覆叠空间中超平面的几何交线，对应于$X^{(3)}$平面截面中的直线，对一致性至关重要。
• 作者验证了所有单值关系均可约化为所给关系集，从而确认了$\tilde{X}^{(3)}$的群表述的完备性。