[论文解读] The Fundamental Theorem of Calculus with Gossamer numbers

Chelton D. Evans, William K. Pattinson|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 5

一句话总结

本文将微积分基本定理（FTC）推广至蛛丝数（*G*）系统，这是一种包含无穷小与无穷大的非阿基米德数系。通过使用无穷小区间构造不连续函数的连续表示，作者证明了在 *G* 中，黎曼和与积分满足作为端点处反导函数之差的 FTC，从而实现了有限与无限定义域的统一处理。

ABSTRACT

Within the gossamer numbers which extend the real numbers to include infinitesimals and infinities we prove the Fundamental Theorem of Calculus (FTC). Riemann sums are also considered in the gossamer number system, and their non-uniqueness at infinity. We can represent the sum as a continuous function in the gossamer number system by inserting infinitesimal intervals at the discontinuities, and threading curves between the sums discontinuities. As the FTC is a difference of integrals at the end points, the same is true of sums.

研究动机与目标

• 将微积分基本定理（FTC）推广至包含无穷小与无穷大的蛛丝数系统 *G*。
• 通过在 *G* 中构造连续曲线来解决无穷远处黎曼和的非唯一性问题，以逼近不连续函数。
• 通过在 *G* 中工作，避免瑕积分的特殊情况，统一处理有限与无限区间。
• 证明 *G* 中的和与积分满足作为端点处反导函数之差的 FTC。
• 通过 *G* 中的无穷小区间过渡，提供阶梯函数（如海维赛德函数、素数计数函数）的连续表示。

提出的方法

• 在 *G* 中使用无穷小划分定义统一的黎曼和，划分宽度为 $\frac{1}{\nu}$，其中 $\nu \in \mathbb{N}_\infty$。
• 利用传递原理，将 $\mathbb{R}$ 中的不连续函数映射为 *G* 中在无穷小区间上的连续曲线。
• 通过在宽度为 $2\epsilon$ 的区间上用线性过渡替代跳跃间断点，构造阶梯函数的连续逼近，其中 $\epsilon \in \Phi$。
• 将不连续点下的面积表示为无穷小区间宽度的梯形区域之和，证明其在标准部分中总和趋于零。
• 通过在 *G* 中将定积分表示为在端点处求值的反导函数之差，应用 *G* 中的 FTC。
• 通过定义点处的求和 $G(a) = \sum^a g_j$，并将求和扩展至 $\sum_{k=a}^b g_k = G(b) - G(a)$，利用 *G* 中的连续积分证明其满足 FTC。

实验结果

研究问题

• RQ1 微积分基本定理能否推广至包含无穷小与无穷大的数系？
• RQ2 在 *G* 中，如何对不连续函数（如海维赛德阶梯函数）实现连续表示？
• RQ3 在 *G* 中，黎曼和在无穷远处的行为如何？其非唯一性如何影响积分？
• RQ4 能否通过相同的函数差结构，将积分的 FTC 扩展至离散求和？
• RQ5 在 $\mathbb{R}$ 中，不连续函数下的面积在 *G* 中的连续逼近下，需满足何种条件才能保持不变？

主要发现

• 微积分基本定理在 *G* 中成立，形式为 $\int_a^b f(x)\,dx = \int^b f(x)\,dx - \int^a f(x)\,dx$，其中反导函数定义为上限的函数。
• 在 *G* 中，黎曼和与积分渐近等价：$\int_0^\nu f(\frac{x}{\nu})\,dx \sim \sum_{j=1}^\nu f(\frac{j}{\nu})\frac{1}{\nu}$，当 $\nu = \infty$ 时成立。
• $\mathbb{R}$ 中的不连续函数可在 *G* 中的无穷小区间上实现连续表示，且不连续点下的面积在标准部分中趋于零：$\sum_{k=0}^{w-1} a_k \in \Phi$。
• 在 $\mathbb{R}$ 中，分段连续函数下的面积在 *G* 中的连续逼近下得以保持，满足 $A' \simeq A$，其中 $A'$ 为 *G* 中的面积。
• 在 *G* 中，求和通过 $\sum_{k=a}^b g_k = \sum^b g_k - \sum^a g_k$ 满足 FTC，其中点处的求和被定义为函数。
• 对于具有有限个间断点的任意函数，可在 *G* 中构造一条与原函数在标准部分中一致的可微连续曲线。