[论文解读] The Fundamental Theorem of Utility Maximization and Num\'eraire Portfolio

Tahir Choulli, Jun Deng+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文通过弱化非套利条件并扩展在等价概率测度下的效用最大化，对连续时间市场的效用最大化基本定理（FTUM）进行了重新表述。它建立了无无风险套利收益（Bounded-Risk）条件、本币计价资产组合的存在性以及效用最大化的可解性之间的等价关系，为不完全市场中的市场可行性提供了一个稳健且技术上简化的框架。

ABSTRACT

The fundamental theorem of utility maximization (called FTUM hereafter) says that the utility maximization admits solution if and only if there exists an equivalent martingale measure. This theorem is true for discrete market models (where the number of scenarios is finite), and remains valid for general discrete-time market models when the utility is smooth enough. However, this theorem --in this current formulation-- fails in continuous-time framework even with nice utility function, where there might exist arbitrage opportunities and optimal portfolio. This paper addresses the question how far we can weaken the non-arbitrage condition as well as the utility maximization problem to preserve their complete and strong relationship described by the FTUM. As application of our version of the FTUM, we establish equivalence between the No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk condition, the existence of num\'eraire portfolio, and the existence of solution to the utility maximization under equivalent probability measure. The latter fact can be interpreted as a sort of weak form of market's viability, while this equivalence is established with a much less technical approach. Furthermore, the obtained equivalent probability can be chosen as close to the real-world probability measure as we want (but might not be equal).

研究动机与目标

• 解决尽管效用函数光滑，经典FTUM在连续时间模型中仍会失效的问题。
• 在保持效用最大化与等价鞅测度之间强关联的前提下，弱化非套利条件。
• 建立一个在连续时间设定下有效、且技术假设最少的新版本FTUM。
• 证明无无风险套利收益（Bounded-Risk）条件、本币计价资产组合的存在性以及在等价概率测度下效用最大化的可解性三者之间的等价性。
• 证明用于效用最大化的等价概率测度可被选择为与真实世界测度任意接近，尽管不一定是完全相等。

提出的方法

• 引入一种弱于标准无套利条件的广义非套利条件，与连续时间模型相容。
• 通过测度变换方法对效用最大化问题进行变换，以确保解的存在性。
• 将本币计价资产组合作为核心工具，连接市场可行性与效用最大化。
• 使用可被任意接近真实世界测度的等价概率测度，增强实际相关性。
• 依赖随机分析与鞅理论，但相比先前方法，技术复杂度显著降低。
• 建立三项关键金融条件之间的等价关系：无无风险套利收益（Bounded-Risk）条件、本币计价资产组合的存在性以及效用最大化的可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典FTUM能否在标准形式下失效的连续时间市场中得到扩展？
• RQ2 何种更弱的非套利条件可在连续时间中保持效用最大化与等价鞅测度之间的对偶性？
• RQ3 本币计价资产组合的存在性与在等价测度下效用最大化的可解性之间有何关系？
• RQ4 用于效用最大化的等价概率测度在多大程度上可与真实世界测度对齐？
• RQ5 能否通过本币计价资产组合框架实现技术上更简单的市场可行性证明？

主要发现

• 当非套利条件被弱化为无无风险套利收益（Bounded-Risk）时，广义FTUM在连续时间模型中成立。
• 在等价概率测度下，本币计价资产组合的存在性与效用最大化问题的可解性等价。
• 用于求解的等价概率测度可被选择为与真实世界概率测度任意接近，尽管不一定是完全相同。
• 在最小技术假设下，三项核心条件——无无风险套利收益（Bounded-Risk）条件、本币计价资产组合存在性以及效用最大化可解性——之间的等价性成立。
• 所提出的框架提供了一种弱形式的市场可行性，既数学上严谨，又具有实际可解释性。
• 该证明方法相比先前方法技术复杂度显著降低，增强了可及性与适用性。