[论文解读] The Futaki invariant and the Mabuchi energy of a complete intersection

D. H. Phong, Jacob Sturm|ArXiv.org|Dec 31, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 7

一句话总结

本论文利用 Deligne 对偶配对和线丛上的度量，为射影空间中光滑完备交上的 Mabuchi 能量与 Aubin-Yau 泛函建立了非线性公式。通过在 Chow 点上的无穷小作用，该研究提供了一种广义 Futaki 不变量的典范构造，实现了其新的几何表征，并以定义多项式表示了 K-能量的退化范数形式。

ABSTRACT

We study the Futaki invariant and the Mabuchi K-energy of a Kähler manifold $M$ using the Deligne pairing technique developed in earlier papers. We first prove a rather simple characterization of the Futaki character: The Futaki character on a Q-Fano variety is the eigenvalue of the action of $Aut(M)$ on $Chow(M)$, the Chow point of $M$. We use this to give a new proof of Lu's theorem on the Futaki invariant of a complete intersection. In the last theorem, we prove a non-linear generalization of Lu's formula which expresses the K-energy of a smooth complete intersection as a singular norm on the space of defining polynomials.

研究动机与目标

• 通过代数簇 Chow 点上全纯向量场的作用，提供广义 Futaki 不变量的几何表征。
• 利用 Deligne 对偶配对技术，推导完备交上 Mabuchi 能量与 Aubin-Yau 泛函的显式公式。
• 通过依赖度量的邻接公式，将 Lu 对超曲面的 Futaki 不变量公式推广至高余维完备交。
• 将 K-能量表达为定义多项式空间上的退化范数，推广先前对超曲面的结果。

提出的方法

• 利用 Deligne 交配对构造一个典范的一维线丛 $\mathcal{F} = \langle K^{-1}, \dots, K^{-1} \rangle$，含 $n+1$ 个因子，编码光滑射影簇的典范丛。
• 将全纯向量场在 $M$ 上的作用提升至 $\mathcal{F}$ 上，将无穷小特征值识别为 Futaki 不变量。
• 应用度量变分原理：能量泛函作为 Deligne 对偶配对中度量的变分而导出，由此得到涉及 Ricci 曲率与 Fubini-Study 度量的公式。
• 利用带度量的邻接公式，将完备交的典范丛与超平面丛及定义多项式联系起来。
• 通过范数 $||F||_{\mathcal{M}}^2$ 建立 $SL(N+1)$ 作用下 K-能量的变换律，该范数包含由定义截面曲率产生的对数项。
• 证明 Mabuchi 能量由 $\nu_\omega(\phi_\sigma) = \log \frac{||F^\sigma||_{\mathcal{M}}^2}{||F||_{\mathcal{M}}^2}$ 给出，其中 $||F||_{\mathcal{M}}^2$ 通过涉及积分对数曲率项的退化度量定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 Futaki 不变量如何通过代数簇 Chow 点上作用的几何方式表征？
• RQ2 光滑完备交在射影空间中 Mabuchi 能量泛函的精确表达式是什么？
• RQ3 K-能量能否表示为定义多项式空间上的退化范数，从而推广已知的超曲面公式？
• RQ4 Deligne 对偶配对形式如何实现 Q-Fano 情况下 Futaki 字符的典范构造？
• RQ5 SL(N+1) 作用在 K-能量变换中的角色是什么？为何限制为 SL(N+1) 而非 GL(N+1)？

主要发现

• 广义 Futaki 不变量被识别为全纯向量场在簇 Chow 点上无穷小作用的特征值。
• 推导出 Mabuchi 能量的新公式：$\nu_\omega(\phi_\sigma) = \log \frac{||F^\sigma||_{\mathcal{M}}^2}{||F||_{\mathcal{M}}^2}$，其中 $||F||_{\mathcal{M}}^2$ 是通过积分对数曲率项定义的退化度量。
• 证明 Mabuchi 能量可表示为定义多项式空间上的退化范数，推广了先前对超曲面的结果。
• K-能量公式仅在 $\sigma \in SL(N+1)$ 时成立，原因在于典范同构 $K^{-1}_{{\mathbb{P}}^N} \cong \mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^N}(N+1)$ 在 $SL(N+1)$ 下的等变性，而非 $GL(N+1)$。
• 该构造产生一个典范线丛 $\mathcal{F}$，其度量变分生成 Mabuchi 能量，为该泛函提供了几何起源。
• 论文建立了 Lu 对超曲面 Futaki 不变量公式的非线性推广，将其扩展至完备交情形。