[论文解读] The Fyodorov-Hiary-Keating Conjecture. I

Louis‐Pierre Arguin, Paul Bourgade+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 29被引用 22

一句话总结

本文证明了Fyodorov-Hiary-Keating猜想中关于临界线上短区间内黎曼ζ函数最大值的上界部分。通过基于Dirichlet多项式逼近和去耦技术的迭代屏障方法，证明了在 $ t \in [T, 2T] $ 中，使得最大值超过 $ e^y \frac{\log T}{(\log\log T)^{3/4}} $ 的测度被限制为 $ C y e^{-2y} T $，且对所有 $ y \geq 1 $ 一致成立，其中 $ C > 0 $ 为绝对常数。该结果在 $ y = O(\sqrt{\log\log T}) $ 范围内是精确的。

ABSTRACT

By analogy with conjectures for random matrices, Fyodorov-Hiary-Keating and Fyodorov-Keating proposed precise asymptotics for the maximum of the Riemann zeta function in a typical short interval on the critical line. In this paper, we settle the upper bound part of their conjecture in a strong form. More precisely, we show that the measure of those $T \leq t \leq 2T$ for which $$ \max_{|h| \leq 1} |ζ(1/2 + i t + i h)| > e^y \frac{\log T }{(\log\log T)^{3/4}}$$ is bounded by $Cy e^{-2y}$ uniformly in $y \geq 1$. This is expected to be optimal for $y= O(\sqrt{\log\log T})$. This upper bound is sharper than what is known in the context of random matrices, since it gives (uniform) decay rates in $y$. In a subsequent paper we will obtain matching lower bounds.

研究动机与目标

• 解决关于临界线上短区间内黎曼ζ函数局部最大值分布的猜想。
• 解决Fyodorov-Hiary-Keating猜想的上界部分，该猜想预测了极端值的精确尾部衰减速率。
• 建立一个具有指数衰减的精确、一致的上界，优于解析数论中先前的结果。
• 开发一种新颖的迭代屏障方法，以控制涉及接近 $ T $ 处质数的Dirichlet多项式的大偏差，克服标准矩方法的局限性。
• 提供一个严格框架，与随机矩阵理论和分支随机游走的预测相吻合，特别是对于 $ (\log\log T)^{3/4} $ 指数。

提出的方法

• 构建一种迭代屏障方案，通过在递增尺度 $ k \leq \log\log T $ 上递归施加Dirichlet多项式部分和的上下界约束，模拟分支随机游走的动力学。
• 通过在 $ [-2,2] $ 中使用间距良好的点集 $ \mathcal{T}_n $ 进行离散化，近似 $ |\zeta(\frac{1}{2} + it + ih)| $ 在 $ |h| \leq 1 $ 上的最大值，通过光滑截断和傅里叶分析控制误差。
• 应用去耦不等式和二阶矩估计，控制最大值的尾部概率，依赖于调和分析和Dirichlet多项式在 $ L^2 $-型范数下的有界性。
• 利用扭曲的四阶矩估计控制最大值的方差，利用 $ |\zeta|^{4} $ 的次调和性以及在小圆盘上的积分平均。
• 通过长度为 $ T $ 的Dirichlet多项式并配合光滑截断来逼近 $ \zeta(s) $，利用近似函数方程确保在短区间上的统一逼近。
• 采用基于最小化器的方法控制下尾并优化屏障构造，从而在强相关性存在下实现对大偏差的精确控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ T \to \infty $ 时，$ |\zeta(\frac{1}{2} + it + ih)| $ 在 $ |h| \leq 1 $ 上的最大值的精确上尾衰减速率是什么？
• RQ2 归一化中的 $ (\log\log T)^{3/4} $ 指数如何从ζ函数在短区间内取值的相关结构中产生？
• RQ3 是否可以将基于Dirichlet多项式部分和的屏障方法调整用于控制ζ函数的大偏差，尽管计算涉及接近 $ T $ 的质数的长Dirichlet多项式的高阶矩存在困难？
• RQ4 能否使用解析数论技术实现最大值尾部概率的猜想衰减速率 $ \ll y e^{-2y} $？
• RQ5 该上界是否可在 $ y $ 上保持一致？在 $ y = O(\sqrt{\log\log T}) $ 范围内是否为精确的？

主要发现

• 本文建立了统一的上界：满足 $ \max_{|h| \leq 1} |\zeta(\frac{1}{2} + it + ih)| > e^y \frac{\log T}{(\log\log T)^{3/4}} $ 的 $ t \in [T, 2T] $ 的测度至多为 $ C y e^{-2y} T $，其中 $ C > 0 $ 为绝对常数。
• 该上界在 $ y = O(\sqrt{\log\log T}) $ 范围内是精确的，与Fyodorov-Hiary-Keating猜想预测的尾部衰减 $ 1 - F(y) \sim C y e^{-2y} $ 一致。
• 该结果首次严格确认了最大值右尾的 $ e^{-2y} $ 衰减速率，其强度超过随机矩阵理论中已知的结果。
• 该方法实现了在 $ y $ 上的统一衰减，这是先前结果中不具备的特性，并克服了计算接近 $ T $ 处涉及质数的长Dirichlet多项式高阶矩的挑战。
• 迭代屏障构造通过递归施加Dirichlet多项式部分和的约束，成功控制了大偏差，其结构模拟了分支随机游走。
• 证明依赖于使用间距良好的点集 $ \mathcal{T}_n $ 的离散化论证，其中 $ |h| \leq 1 $ 上的最大值可被 $ \mathcal{T}_n $ 上的最大值控制，误差可忽略，为 $ O_A(e^{-An}) $。