[论文解读] The Galois module structure of l-adic realizations of Picard 1-motives and applications

Cornélius Greither, Cristian D. Popescu|arXiv (Cornell University)|May 5, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文证明了代数闭域上光滑射影曲线的G-Galois覆叠所关联的Picard 1-动机的ℓ-进实现实是G-上同调平凡的，因此是ℤℓ[G]-投射模。本文证明了一个新的上同调平凡性结果，并将其应用于有限域上的算术情形，得到Fitting理想等式，从而改进了关于L函数特殊值的经典猜想。

ABSTRACT

We show that the l-adic realizations of certain Picard 1-motives associated to a G-Galois cover of smooth, projective curves defined over an algebraically closed field are G-cohomologically trivial, for all primes l. In the process, we generalize a well-known theorem of Nakajima on the Galois module structure of certain spaces of Kahler differentials associated to the top curve of the cover, assuming that the field of definition is of characteristic p. If the cover and the Picard 1-motive are defined over a finite field and if G is abelian, we compute the first Fitting ideal of each l-adic realization over a certain profinite l-adic group algebra in terms of an equivariant Artin L-function. This is a refinement of earlier work of Deligne and Tate on Picard 1-motives associated to global function fields. As a consequence, we prove refined versions of the Brumer-Stark and the (étale) Coates-Sinnott Conjectures for global function fields. In upcoming work, we use these results to prove several other conjectures on special values of global L-functions in characteristic p. Also, we prove analogous results in characteristic 0, where the l-adic realizations of Picard 1-motives will be replaced by a new class of Iwasawa modules.

研究动机与目标

• 确定与曲线的G-Galois覆叠相关的Picard 1-动机的ℓ-进实现实的Galois模结构。
• 为Nakajima关于Cartier算子作用于微分形式的半单部分的Galois模结构定理提供一个新证明。
• 在有限域上的算术设定下，建立Fitting理想等式，将ℓ-进实现实与G-等变L函数联系起来。
• 改进关于全局L函数特殊值的经典猜想，包括Brumer-Stark与Coates-Sinnott猜想。

提出的方法

• 通过新方法解释Picard 1-动机的n torsion点，以分析其Galois模结构。
• 证明当G为ℓ-群时，ℓ-torsion模是自由的，并以商曲线的亏格和Hasse-Witt不变量表示其秩。
• 建立Cartier算子的核与具有指定极点的微分形式空间之间的典范同构。
• 利用ℓ-进实现实的上同调平凡性，将Fitting理想与G-等变L函数的特殊值联系起来。
• 利用Deligne、Tate、Berthelot、Bloch与Illusie的结果，将平展上同调与晶体上同调与模结构联系起来。
• 利用Frobenius变换作为拓扑生成元来定义L函数，并将其与Iwasawa代数中的Fitting理想关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Picard 1-动机的ℓ-进实现实作为G模是上同调平凡的？
• RQ2 Picard 1-动机的ℓ-torsion的Galois模结构如何与商曲线的亏格及Hasse-Witt不变量相关？
• RQ3 Nakajima关于Cartier算子作用于微分形式的定理能否从Picard 1-动机的结构中导出？
• RQ4 在有限域上的算术设定下，ℓ-进实现实的Fitting理想与G-等变L函数之间的确切关系为何？
• RQ5 这些结果如何改进经典的Brumer-Stark与Coates-Sinnott猜想？

主要发现

• Picard 1-动机的ℓ-进实现实 $ T_{\rho}(\rho_{\rho,\rho}) $ 是 $ G $-上同调平凡的，因此对所有素数 $ \ell $，其为 $ \mathbb{Z}_{\ell}[G] $-投射模且有限秩。
• 当 $ G $ 为 $ \ell $-群时，$ \ell $- torsion 模 $ \mathcal{M}_{\mathcal{S},\mathcal{T}}[\ell] $ 是 $ \mathbb{F}_{\ell}[G] $ 上的自由模，其秩为 $ \gamma_{Z'} - 1 + |\mathcal{S}'| $，其中 $ \gamma_{Z'} $ 为 $ Z' $ 的亏格。
• 当 $ \ell = \text{char}(\kappa) = p $ 时，其秩由 $ Z' $ 的Hasse-Witt不变量给出，且该结果作为特例恢复了Nakajima定理。
• 在Iwasawa代数 $ \mathbb{Z}_{\ell}[[\overline{G}]] $ 上，$ \ell $-进实现实 $ T_{\ell}(M_{\mathcal{S},\mathcal{T}}) $ 的Fitting理想等于由 $ \Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(\gamma^{-1}) $ 生成的理想，其中 $ \gamma $ 为Frobenius变换。
• 对所有素数 $ \ell $，等式 $ (\Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(\gamma^{-1})) = \text{Fit}_{\mathbb{Z}_{\ell}[[\overline{G}]]}(T_{\ell}(M_{\mathcal{S},\mathcal{T}})) $ 成立，改进了Deligne与Tate关于ℓ-进实现实的结果。
• 这些结果通过将 $ \Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(u) $ 的特殊值与理想类群不变量及平展上同调群联系起来，为经典猜想（包括Brumer-Stark与Coates-Sinnott）提供了Galois等变的改进。