[论文解读] The Gamma-limit of the two-dimensional Ohta-Kawasaki energy. II. Droplet arrangement at the sharp interface level via the renormalized energy

Dorian Goldman, Cyrill B. Muratov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Block Copolymer Self-Assembly参考文献 29被引用 14

一句话总结

本文在少数相体积分数趋于零的尖锐界面极限下，推导了二维Ohta-Kawasaki能量的下一阶Γ极限。利用Sandier-Serfaty的抽象Γ收敛框架与多参数大数定律，识别出重正化能量为控制液滴排列的主导相互作用能，预测在极限下能量极小化器呈现三角晶格构型。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers in which we derive a $Γ$-expansion for the two-dimensional non-local Ginzburg-Landau energy with Coulomb repulsion known as the Ohta-Kawasaki model in connection with diblock copolymer systems. In this model, two phases appear, which interact via a nonlocal Coulomb type energy. Here we focus on the sharp interface version of this energy in the regime where one of the phases has very small volume fraction, thus creating small "droplets" of the minority phase in a "sea" of the majority phase. In our previous paper, we computed the $Γ$-limit of the leading order energy, which yields the averaged behavior for almost minimizers, namely that the density of droplets should be uniform. Here we go to the next order and derive a next order $Γ$-limit energy, which is exactly the Coulombian renormalized energy obtained by Sandier and Serfaty as a limiting interaction energy for vortices in the magnetic Ginzburg-Landau model. The derivation is based on the abstract scheme of Sandier-Serfaty that serves to obtain lower bounds for 2-scale energies and express them through some probabilities on patterns via the multiparameter ergodic theorem. Without thus appealing to the Euler-Lagrange equation, we establish for all configurations which have "almost minimal energy" the asymptotic roundness and radius of the droplets, and the fact that they asymptotically shrink to points whose arrangement minimizes the renormalized energy in some averaged sense. Via a kind of $Γ$-equivalence, the obtained results also yield an expansion of the minimal energy for the original Ohta-Kawasaki energy. This leads to expecting to see triangular lattices of droplets as energy minimizers.

研究动机与目标

• 在少数相体积分数趋于零的尖锐界面极限下，推导Ohta-Kawasaki能量的下一阶Γ极限。
• 表征在均匀密度之外的液滴渐近排列，聚焦于其相互作用。
• 确立此前在涡旋系统中推导出的重正化能量，作为该模型中液滴有效相互作用能的来源。
• 证明几乎极小化构型中，液滴渐近呈圆形并收缩为点，其位置最小化重正化能量。
• 通过Γ等价性，对原始Ohta-Kawasaki能量获得完整的Γ展开，从而实现极小化器的能量渐近分析。

提出的方法

• 将Sandier与Serfaty的抽象Γ收敛框架应用于由Ohta-Kawasaki泛函产生的双尺度能量。
• 利用多参数大数定律，将下界表示为液滴构型局部模式的概率形式。
• 证明几乎极小化构型中，液滴渐近为半径ρε的圆，且其半径满足ln(rε′/ρε) = oε(1)。
• 通过带屏蔽Poisson方程的周期解，构造周期逼近重正化能量极小化器的测试函数。
• 运用Hahn-Banach扩张定理与椭圆正则性，严格将极限能量中的双积分项定义为分布卷积。
• 通过Γ等价性结合上下界，获得原始能量泛函的完整Γ展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 在领先阶Γ极限所预测的均匀液滴密度之外，Ohta-Kawasaki能量的下一阶渐近行为是什么？
• RQ2 当液滴体积分数趋于零时，液滴在尖锐界面极限下的相互作用机制如何，其空间排列由什么决定？
• RQ3 Ginzburg-Landau模型中涡旋系统的重正化能量是否可作为Ohta-Kawasaki模型中液滴的有效相互作用能？
• RQ4 几乎极小化构型是否表现出渐近圆形性并收缩为点，且其排列是否由最小化重正化能量所控制？
• RQ5 在少数相分数较小时，原始Ohta-Kawasaki能量的最小能量的精确渐近展开是什么？

主要发现

• Ohta-Kawasaki能量的下一阶Γ极限被识别为重正化能量，该能量在尖锐界面极限下控制液滴的相互作用。
• 几乎极小化构型中，液滴渐近为圆形，其半径ρε满足ln(rε′/ρε) = oε(1)，意味着它们以正确尺度收缩为点。
• 液滴中心在弱的、平均的意义下渐近最小化重正化能量，表明其倾向于形成有序排列。
• 原始Ohta-Kawasaki泛函的最小能量具有Γ展开，其主项包含重正化能量，且存在与(barδ - barδc)成比例的低阶修正项。
• 能量渐近分析预测，在极限下液滴的三角晶格构型为极小化器，与重正化能量在晶格上最小化的已知结果一致。
• 该结果未使用Euler-Lagrange方程，而是依赖于多参数大数定律下的概率与变分技术。