[论文解读] The $\gamma$-Vectors of Pascal-like Triangles Defined by Riordan Arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 1

一句话总结

本文引入并表征了由普通和指数Riordan阵列定义的Pascal型三角形的γ-矩阵，表明这些γ-矩阵由拉伸的Riordan阵列生成，并通过雅可比连分数和二项式变换与广义Narayana数相关联。主要贡献是给出了γn,k关于原三角形条目hn,k的闭式公式，将经典的γ-向量概念扩展到一大类组合三角形。

ABSTRACT

We define and characterize the $\gamma$-matrix associated to Pascal-like matrices that are defined by ordinary and exponential Riordan arrays. We also define and characterize the $\gamma$-matrix of the reversions of these triangles, in the case of ordinary Riordan arrays. We are led to the $\gamma$-matrices of a one-parameter family of generalized Narayana triangles. Thus these matrices generalize the matrix of $\gamma$-vectors of the associahedron. The principal tools used are the bivariate generating functions of the triangles and Jacobi continued fractions.

研究动机与目标

• 定义并表征由普通和指数Riordan阵列生成的Pascal型矩阵相关的γ-矩阵。
• 将经典的γ-向量概念从单纯形推广到更广泛的组合三角形类别。
• 研究此类三角形的反演的γ-矩阵，特别是普通Riordan阵列的情形。
• 建立γn,k关于原三角形条目hn,k的显式闭式表达式。
• 探讨γ-矩阵、雅可比连分数和二项式变换在广义Narayana数背景下的关联。

提出的方法

• 使用双变量生成函数h(x, y)和γ(x, y)分别表示Pascal型矩阵及其关联的γ-矩阵。
• 应用INVERT(y)变换，将Pascal型矩阵的生成函数与γ-矩阵的生成函数关联起来。
• 利用雅可比连分数表达r-Narayana数及其对应γ-矩阵的生成函数。
• 使用(−y)-重二项式变换，反转生成函数之间INVERT变换的关系。
• 应用指数Riordan阵列理论，推导指数生成函数的γ-矩阵，特别是[ex, x(1 + rx/2)]的情形。
• 证明指数Riordan阵列[ex, x(1 + rx/2)]的γ-矩阵条目为(n choose 2k) * rk * (2k−1)!!

实验结果

研究问题

• RQ1 如何表征由普通Riordan阵列定义的Pascal型矩阵的γ-矩阵？
• RQ2 Pascal型矩阵的生成函数与其γ-矩阵的生成函数之间有何关系？
• RQ3 Riordan阵列三角形的反演的γ-矩阵如何与原始γ-矩阵关联？
• RQ4 指数Riordan阵列的γ-矩阵能否显式计算，其组合意义是什么？
• RQ5 雅可比连分数和二项式变换在表征γ-矩阵及其关联的Narayana型数的生成函数中起什么作用？

主要发现

• 普通Riordan阵列(1/(1−x), x(1+rx)/(1−x))的γ-矩阵由拉伸的Riordan阵列(1/(1−x), rx²/(1−x))给出，条目为γn,k = (n−k choose k) * rk。
• Pascal型矩阵的生成函数h(x, y)是其γ-矩阵的生成函数γ(x, y)的INVERT(y)变换。
• r-Narayana数的生成函数表示为雅可比连分数J((y+1), (y+1), ...; ry, ry, ...)，而γ-矩阵的生成函数为J(1, 1, ...; ry, ry, ...)。
• 指数Riordan阵列[ex, x(1 + rx/2)]的γ-矩阵的生成函数为ex(1 + rxy/2)，通过(−y)-重二项式变换推导得出。
• 当r=1时，γ-矩阵对应A100861（Bessel数），其关联的Pascal型矩阵为A100862（冠状匹配）。
• 当r=2时，γ-矩阵对应A059344（Hermite多项式系数），其关联的Pascal型矩阵的行和为A000898（对称对合）。