[论文解读] The Garman-Klass volatility estimator revisited

Isaac Meilijson|ArXiv.org|Jul 22, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文重新审视了Garman-Klass波动率估计量，并提出了一种基于压缩统计量 $ S_2 = (C, \text{min}(-L, H-C), \text{max}(-L, H-C)) $ 的新型二次无偏估计量，其中 $ C = |CLOSE - OPEN| $，$ H = MAX - OPEN $，$ L = OPEN - MIN $。通过利用路径翻转带来的对称性与改进的充分性，该新估计量实现了 $ 0.258658\sigma^4 $ 的方差，对应效率为 7.7322，略高于Garman-Klass的 7.4，同时保持无偏性，并在重尾收益下优于现有估计量。

ABSTRACT

The Garman-Klass unbiased estimator of the variance per unit time of a zero-drift Brownian Motion B, based on the usual financial data that reports for time windows of equal length the open (OPEN), minimum (MIN), maximum (MAX) and close (CLOSE) values, is quadratic in the statistic S1=(CLOSE-OPEN, OPEN-MIN, MAX-OPEN). This estimator, with efficiency 7.4 with respect to the classical estimator (CLOSE-OPEN)^2, is widely believed to be of minimal variance. The current report disproves this belief by exhibiting an unbiased estimator with slightly but strictly higher efficiency 7.7322. The essence of the improvement lies in the observation that the data should be compressed to the statistic S2 defined on W(t)= B(0)+[B(t)-B(0)]sign[(B(1)-B(0)] as S1 was defined on the Brownian path B(t). The best S2-based quadratic unbiased estimator is presented explicitly. The Cramer-Rao upper bound for the efficiency of unbiased estimators, corresponding to the efficiency of large-sample Maximum Likelihood estimators, is 8.471. This bound cannot be attained because the distribution is not of exponential type. Regression-fitted quadratic functions of S2 (with mean 1) markedly out-perform those of S1 when applied to random walks with heavy-tail-distributed increments. Performance is empirically studied in terms of the tail parameter.

研究动机与目标

• 挑战长期以来认为Garman-Klass估计量是波动率最小方差无偏二次估计量的观点。
• 通过利用基于收益符号的路径翻转技术，构建一个改进的充分统计量 $ S_2 $，以压缩原始的 $ S_1 = (CLOSE-OPEN, MAX-OPEN, MIN-OPEN) $，从而改进Garman-Klass估计量。
• 构建一种新的方差 $ \sigma^2 $ 的二次无偏估计量，通过在 $ S_2 $ 导出的四个基本无偏估计量上优化权重，实现比Garman-Klass更高的效率。
• 在重尾分布下对性能进行实证评估，特别是稳定分布和 $ t $-分布下的收益。

提出的方法

• 提出路径翻转变换 $ W(t) = B(0) + [B(t) - B(0)] \cdot \text{sign}(B(1) - B(0)) $，以构造一个对称的充分统计量 $ S_2 $，该统计量在不重建完整路径的情况下捕获了 $ S_1 $ 中所有与方差相关的信息。
• 将 $ S_2 $ 定义为 $ (C, \min(-L, H-C), \max(-L, H-C)) $，其中 $ C = |c| $，$ H = h $，$ L = l $，且 $ c = CLOSE - OPEN $，$ h = MAX - OPEN $，$ l = MIN - OPEN $。
• 识别出四个基本的无偏方差估计量：$ \hat{\sigma}_1^2 = 2[(H-C)^2 + L^2] $，$ \hat{\sigma}_2^2 = C^2 $，$ \hat{\sigma}_3^2 = 2(H-C-L)C $，以及 $ \hat{\sigma}_4^2 = -\frac{(H-C)L}{2\log(2) - 5/4} $，每个估计量的方差均已知。
• 构建一个新的二次估计量 $ \hat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^4 \alpha_i \hat{\sigma}_i^2 $，其权重 $ \alpha_i $ 通过在均值为1的约束下最小化方差而优化得出。
• 利用Rao-Blackwell定理证明，基于 $ S_2 $ 的估计量可严格优于基于 $ S_1 $ 的估计量，除非二者相同；并表明Garman-Klass未达到该下界。
• 通过模拟具有 $ t $-分布和稳定分布增量的随机游走，实证评估性能，测量尾部行为与方差估计的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种新的无偏二次波动率估计量，其方差严格低于Garman-Klass估计量？
• RQ2 基于 $ S_1 $ 构建的路径翻转充分统计量 $ S_2 $，是否能实现比Garman-Klass估计量更低的方差？
• RQ3 在几何布朗运动下，无偏波动率估计量的理论效率极限是多少？实际估计量能多接近这一极限？
• RQ4 在重尾收益分布下，所提出的估计量与Garman-Klass估计量的性能如何比较？

主要发现

• 所提出的估计量实现了 $ 0.258658\sigma^4 $ 的方差，对应效率为 7.7322，严格高于Garman-Klass估计量的效率 7.4。
• 新估计量是四个基本无偏估计量的加权和：$ \hat{\sigma}^2 = 0.273520 \hat{\sigma}_1^2 + 0.160358 \hat{\sigma}_2^2 + 0.365212 \hat{\sigma}_3^2 + 0.200910 \hat{\sigma}_4^2 $，权重通过在均值为1的约束下最小化方差推导得出。
• 无偏估计量的Cramér-Rao上界为 $ 8.471 $，表明所提出的估计量仍低于理论极限，由于分布不属于指数族，该极限无法达到。
• 在重尾分布下（如自由度为 3 的 $ t $-分布），基于 $ S_2 $ 的回归拟合二次函数在尾部行为与收敛性方面显著优于基于 $ S_1 $ 的函数。
• 当每时间窗口的增量数 $ N=50 $ 时，校准后的 $ C^2 $ 估计量在 $ df=3 $ 时的实证方差为 0.7630，随 $ N \to \infty $ 收敛于 2，而所提出的估计量在不同自由度下均保持稳定性能。
• Rao-Blackwell定理证实，基于 $ S_2 $ 的估计量可具有严格低于基于 $ S_1 $ 的估计量的方差，且所提出的估计量不在此改进下保持不变，证明其与Garman-Klass估计量不同。