[论文解读] The Gauss image of $\lambda$-hypersurfaces and a Bernstein type problem

Qing-Ming Cheng, Guoxin Wei|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文通过分析其高斯像，建立了欧氏空间中$\nabla$-超曲面的刚性定理。证明了整个图形式的$\nabla$-超曲面必为超平面，将伯恩斯坦型结果推广至加权平均曲率情形，并表明高斯像位于闭或开半球面内的完备恰当浸入$\nabla$-超曲面，要么是超平面，要么是低一维$\nabla$-超曲面的柱面。

ABSTRACT

In this paper, our purpose is to study rigidity theorems for $\\lambda$-hypersurfaces in Euclidean space under Gauss map. As a Bernstein type problem for $\\lambda$-hypersurfaces, we prove that an entirely graphic $\\lambda$-hypersurface in Euclidean space is a hyperplane.

研究动机与目标

• 通过高斯映射作为几何约束，研究$\nabla^{n+1}$中$\nabla$-超曲面的刚性。
• 通过证明整个图形式$\nabla$-超曲面为超平面，解决$\nabla$-超曲面的伯恩斯坦型问题。
• 将自缩子（即$\nabla=0$情形）的结果推广至一般$\nabla$-超曲面，并在高斯像受限条件下进行推广。
• 当高斯映射的像位于闭或开半球面时，确定完备恰当浸入$\nabla$-超曲面的结构。
• 建立$\nabla$-超曲面必为平坦或柱面结构的最优几何条件。

提出的方法

• 将$\nabla$-超曲面视为在加权体积保持变分下加权面积泛函的临界点，满足$\langle \nabla X, N\rangle + H = \nabla$。
• 对图形式超曲面上的度量行列式$\nabla = \nabla \text{log det}(g_{ij})$应用加权拉普拉斯算子$L_{(\nabla,f)}$。
• 利用$\nabla$-超曲面的高斯映射是$e^{-|X|^2/2}$-加权调和映射的事实。
• 应用引理3.1中的面积增长估计，将球面面积以$r^{n + \nabla^2/2 - 2\beta - \text{inf } H^2/2}$为界，其中$\beta = \frac{1}{4}\text{inf}(\nabla - H)^2$。
• 对加权拉普拉斯算子$\nabla$应用最大值原理论证，证明若高斯像位于开或闭半球面，则$\nabla$必为常数。
• 将问题约化为证明图函数$f$的二阶导数为零，从而推出其线性性，利用不等式$L_{(\nabla,f)}\nabla \nabla \nabla \nabla \frac{1}{2} \nabla \nabla_{ij} \nabla_i \nabla_j$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种高斯像条件下，$\nabla^{n+1}$中完备恰当浸入的$\nabla$-超曲面必为超平面？
• RQ2 是否可在不假设多项式面积增长的条件下解决整个图形式$\nabla$-超曲面的伯恩斯坦问题？
• RQ3 定理1.1中的高斯像限制是否最优？加权调和映射性质起到何种作用？
• RQ4 当高斯像位于闭半球面与开半球面时，$\nabla$-超曲面的结构如何变化？
• RQ5 高斯像位于$S^n \setminus \overline{S}^{n-1}_+$的$\nabla$-超曲面的精确几何特征是什么？

主要发现

• 在$\nabla^{n+1}$中，整个图形式的$\nabla$-超曲面必为超平面，解决了该类的伯恩斯坦型问题。
• 若完备恰当浸入的$\nabla$-超曲面的高斯像位于开半球面，则该超曲面必为超平面。
• 若高斯像位于闭半球面，则该超曲面要么是超平面，要么是$\nabla^n$中$(n-1)$维$\nabla$-超曲面的柱面。
• 定理1.2中的高斯像条件是最优的，如存在非平凡$\nabla$-超曲面（例如$S^1 \times \nabla^{n-1}$）其高斯像为大圆所示。
• 证明依赖于通过加权拉普拉斯不等式$L_{(\nabla,f)}\nabla \nabla \nabla \frac{1}{2} \nabla \nabla_{ij} \nabla_i \nabla_j$证明度量行列式$\nabla = \nabla \text{log det}(g_{ij})$为常数，从而强制图函数的所有二阶导数为零。
• 该结果推广了丁、辛和杨关于自缩子（$\nabla = 0$）的先前工作，并去除了埃克勒与休斯肯所依赖的面积增长假设。