[论文解读] The Gauss map of Minimal graphs in the Heisenberg group

Christiam Figueroa|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文利用李群的高斯映射研究三维海森堡群 𝒫₃ 中的极小图。它基于高斯映射的秩对极小图进行了部分分类——表明秩为0和秩为1的极小图要么是平面，要么是特定类型的二次曲面——并证明了 𝒫₃ 中不存在脐点曲面。主要贡献在于以实参数 k 完整分类了具有秩-1高斯映射的极小图。

ABSTRACT

In this paper we study some geometric properties of surfaces in the Heisenberg group, $\mathcal{H}_{3}.$ We obtain, using the Gauss map for Lie groups, a partial classification of minimal graphs in $\mathcal{H}_{3}.$ We also proof the non existence of umbilical surfaces in $\mathcal{H}_{3}.$

研究动机与目标

• 研究海森堡群 𝒫₃ 中曲面的几何性质，特别是极小曲面。
• 将李群中超曲面的高斯映射应用于分析第二基本形式与曲率。
• 根据其高斯映射的秩对 𝒫₃ 中的极小图进行分类。
• 研究极小图为平面或完全极小曲面的条件。
• 证明 𝒫₃ 中不存在脐点曲面。

提出的方法

• 使用 𝒫₃ 上的左不变黎曼度量，结合标准正交的左不变向量场 E₁, E₂, E₃。
• 将非参数曲面参数化为 z = f(x,y)，并利用黎曼联络计算第一和第二基本形式。
• 通过单位法向量场 η 定义高斯映射，其中 w = √[1 + (fₓ + y/2)² + (fᵧ - x/2)²]。
• 通过令平均曲率为零推导极小图方程，得到一个涉及 fₓₓ, fₓᵧ, fᵧᵧ 的非线性偏微分方程。
• 通过求解微分方程与对称性约化，分析高斯映射秩为0和秩为1的情况。
• 应用伯恩斯坦型定理，证明有界完全极小图必为常数，因此是平面。

实验结果

研究问题

• RQ1 当高斯映射的秩为0或1时，海森堡群中极小图的结构是什么？
• RQ2 脐点曲面是否可能存在于海森堡群 𝒫₃ 中？
• RQ3 在什么条件下，𝒫₃ 中的完全极小图必为平面？
• RQ4 在非欧几里得李群中，高斯映射如何与第二基本形式和曲率相关联？
• RQ5 𝒫₃ 中具有秩-1高斯映射的极小图的显式解是什么？

主要发现

• 在 𝒫₃ 中，高斯映射秩为0的极小图是平面。
• 高斯映射秩为1的极小图由 f(x,y) = (xy)/2 - (k/2)[y√(1+y²) + ln(y + √(1+y²))] 给出，其中 k ∈ ℝ。
• 通过高斯映射与第二基本形式的分析，证明了 𝒫₃ 中不存在脐点曲面。
• 在 𝒫₃ 中，若完全极小图有界，则必为常数，因此是平面。
• 极小图方程蕴含 fₓₓfᵧᵧ - fₓᵧ² ≤ 0 对所有点成立，且等号仅在平面时成立。
• 曲面 f(x,y) = (xy)/2 是一个具有秩-1高斯映射的极小图，且在左平移与关于 z 轴的旋转下不变。