[论文解读] The genealogy of a sample from a binary branching process

Amaury Lambert|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明了从连续时间二叉分支过程的N个现存末端中均匀抽取的k个样本的系谱，其分布为伯努利采样共alescent点过程（CPP）的混合，其中采样概率Y服从不 proper 先验y⁻¹dy。关键结果是一个显式的de Finetti型表示：给定Y时，k个样本的节点深度条件独立同分布，从而可通过涉及Y和具有修正密度的独立同分布深度的两阶段过程实现高效模拟与推断。

ABSTRACT

At time 0, start a time-continuous binary branching process, where particles give birth to a single particle independently (at a possibly time-dependent rate) and die independently (at a possibly time-dependent and age-dependent rate). A particular case is the classical birth--death process. Stop this process at time $T>0$. It is known that the tree spanned by the $N$ tips alive at time $T$ of the tree thus obtained (called reduced tree or coalescent tree) is a coalescent point process (CPP), which basically means that the depths of interior nodes are iid. Now select each of the $N$ tips independently with probability $y$ (Bernoulli sample). It is known that the tree generated by the selected tips, which we will call Bernoulli sampled CPP, is again a CPP. Now instead, select exactly $k$ tips uniformly at random among the $N$ tips ($k$-sample). We show that the tree generated by the selected tips is a mixture of Bernoulli sampled CPPs with the same parent CPP, over some explicit distribution of the sampling probability $y$. An immediate consequence is that the genealogy of a $k$-sample can be obtained by the realization of $k$ random variables, first the random sampling probability $Y$ and then the $k-1$ node depths which are iid conditional on $Y=y$.

研究动机与目标

• 刻画从连续时间二叉分支过程的N个现存末端中均匀抽取的k个样本的系谱结构。
• 解决长期存在的问题：在一般时变非马尔可夫分支动力学下，描述k个样本中节点深度的联合分布。
• 通过i.i.d.深度分布的混合形式，提供一种构造性、可模拟的k个样本系谱表示。
• 即使不存在无限嵌入，也建立k-抽样产生的有限交换序列的节点深度的de Finetti型表示。

提出的方法

• 本文将完整树建模为具有时间与年龄依赖出生率和死亡率的分裂树，并在时间T时N ≥ 1个现存末端的条件下进行条件化。
• 证明了完整过程的简化树（共alescent树）是具有i.i.d.节点深度的共alescent点过程（CPP），其特征由逆尾分布F描述。
• 对于k-抽样，该方法通过在恰好选中k个末端的条件下，对具有随机采样概率Y的伯努利抽样进行条件化，推导出节点深度的分布。
• 识别出Y的混合分布为不 proper 先验y⁻¹dy，从而导出de Finetti型表示：给定Y时，深度条件独立同分布。
• 该方法使用测度变换和条件化论证，推导出k-样本中节点深度的联合密度，表示为对Y的混合。
• 由此产生的模拟算法首先从Y的后验μₖ中抽取Y，然后从与f_y(x)成比例的密度中抽取k−1个独立同分布的深度，其中f_y是给定Y=y时H的密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有普遍时变非马尔可夫分支动力学的二叉分支过程中，从末端均匀抽取的k个样本中，节点深度的联合分布是什么？
• RQ2 k-样本的系谱能否表示为更简单过程（如伯努利采样CPP）的混合？
• RQ3 即使不存在无限交换扩展，k-样本中k−1个节点深度的有限交换序列是否存在de Finetti型表示？
• RQ4 如何高效计算k-样本树的似然，以支持统计推断？

主要发现

• k-样本的系谱分布为伯努利采样CPP的混合，其中采样概率Y在(0,1)上服从不 proper 先验y⁻¹dy。
• 给定Y=y时，k-样本的k−1个节点深度条件独立同分布，其密度与f_y(x)成比例，其中f_y是给定Y=y时共alescence时间H的密度。
• k-样本中节点深度的联合密度由公式(13)显式给出，其涉及Y的后验分布μₖ的混合。
• 该表示支持高效模拟：首先从μₖ中抽取Y，然后从条件密度f_y中抽取k−1个独立同分布的深度。
• k-样本树的似然可按每棵树常数时间进行数值计算，如推论5所示。
• 该结果推广并简化了文献中先前的表达式，特别是[11]和[5]中的结果，并在时齐生灭过程中与[5]的命题5.2一致。