[论文解读] The genealogy of convex solids

G. Domokos, Zsolt Lángi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Topological and Geometric Data Analysis被引用 1

一句话总结

本文证明了球面上每一个双色四边形剖分均可作为凸体到其质心距离函数的Morse-Smale复形，通过一种保持凸性的归纳顶点分裂算法实现。该结果推广了先前的分类结果，并表明S²上凸Morse-Smale函数的类完整捕获了此类复形的所有组合类型。

ABSTRACT

The shape of homogeneous, generic, smooth convex bodies as described by the Euclidean distance with nondegenerate critical points, measured from the center of mass represents a rather restricted class M_C of Morse-Smale functions on S^2. Here we show that even M_C exhibits the complexity known for general Morse-Smale functions on S^2 by exhausting all combinatorial possibilities: every 2-colored quadrangulation of the sphere is isomorphic to a suitably represented Morse-Smale complex associated with a function in M_C (and vice versa). We prove our claim by an inductive algorithm, starting from the path graph P_2 and generating convex bodies corresponding to quadrangulations with increasing number of vertices by performing each combinatorially possible vertex splitting by a convexity-preserving local manipulation of the surface. Since convex bodies carrying Morse-Smale complexes isomorphic to P_2 exist, this algorithm not only proves our claim but also generalizes the known classification scheme in [36]. Our expansion algorithm is essentially the dual procedure to the algorithm presented by Edelsbrunner et al. in [21], producing a hierarchy of increasingly coarse Morse-Smale complexes. We point out applications to pebble shapes.

研究动机与目标

• 对光滑、凸、均匀的凸体到其质心的距离函数所生成的所有可能Morse-Smale复形进行分类。
• 确定此类函数类（记为M_C）是否展现出与S²上一般Morse-Smale函数相同的全部组合复杂度。
• 开发一种构造性算法，生成对应于所有有效双色球面四边形剖分的凸体。
• 通过将范围扩展至凸几何，推广计算拓扑学中现有的分类方案。

提出的方法

• 从路径图P₂出发，算法通过对Morse-Smale复形进行归纳的顶点分裂操作，逐步生成更复杂的四边形剖分。
• 每次顶点分裂通过局部的、保持凸性的曲面操作实现，确保物体的凸性不变。
• 该构造确保每个球面的双色四边形剖分都同构于M_C中某个函数的Morse-Smale复形。
• 该算法是Edelsbrunner等人提出的分层粗化方法的对偶，为他们的简化过程提供了一种基于细化的替代方案。
• 通过显式构造和拓扑等价性，建立了四边形剖分与Morse-Smale复形之间的组合同构。
• 该方法依赖于S²上Morse-Smale函数及其相关梯度流图的理论，且限制于凸体情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个球面的双色四边形剖分都可实现为凸体到其质心距离函数的Morse-Smale复形？
• RQ2 与S²上的一般Morse-Smale函数相比，凸体生成的Morse-Smale复形是否存在任何组合约束？
• RQ3 是否存在一种构造性、保持凸性的方法，能从一个最小起点生成所有此类Morse-Smale复形？
• RQ4 所提出的算法与计算拓扑学中现有的分层简化技术有何关联？

主要发现

• 每个球面的双色四边形剖分都同构于M_C类中某个函数的Morse-Smale复形，其中M_C表示光滑凸体到其质心距离函数的类。
• 归纳算法成功生成了对应于M_C中所有组合可能的Morse-Smale复形的凸体，且在每一步均保持了凸性。
• 该算法通过将[36]中的分类方案推广至所有可能的双色四边形剖分，实现了对现有分类方案的扩展。
• 该构造证明了尽管存在几何约束，M_C仍完整捕获了S²上Morse-Smale函数的全部组合复杂度。
• 该方法为Edelsbrunner等人提出的粗化算法提供了一种对偶过程，实现了Morse-Smale复形的分层细化。
• 存在能将路径图P₂作为其Morse-Smale复形的凸体，这证实了基础情形，从而支持了归纳推广。