[论文解读] The Generalisation of the Coulomb Gauge to Yang-Mills Theory

C. Cronström|ArXiv.org|Oct 1, 1998

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过制定一种消除高斯定律中时间导数的规范条件，将阿贝尔库仑规范推广至具有任意紧致半单规范群的非阿贝尔杨-米尔斯理论。该构造依赖于求解一个李代数取值的规范参数的椭圆型偏微分方程，从而在不遭遇格里博夫问题的情况下证明了该规范的存在性与唯一性。

ABSTRACT

I consider the problem of generalising the Abelian Coulomb gauge condition to the non-Abelian Yang-Mills theory, with an arbitrary compact and semi-simple gauge group. It is shown that a straightforward generalisation exists, which reduces the Gauss law into a form involving the gauge potentials only, but not their time derivatives. The existence and uniqueness of the generalised Coulomb gauge is shown to depend on an elliptic linear partial differential equation for a Lie-algebra valued quantity, which defines the gauge transform by means of which the generalised Coulomb gauge condition is realised. Thus the Gribov problem is actually non-existent in this case.

研究动机与目标

• 将阿贝尔库仑规范条件推广至具有任意紧致半单规范群的非阿贝尔杨-米尔斯理论。
• 制定一种规范条件，使高斯定律仅以规范势表示，不包含时间导数。
• 通过可解的椭圆型偏微分方程，建立广义库仑规范的存在性与唯一性。
• 通过证明规范固定条件导致适定的椭圆型方程，从而在该规范中解决格里博夫问题。
• 提供一种使用非阿贝尔库仑规范的非阿贝尔规范场论的正则量子化的一致框架。

提出的方法

• 通过求解一个椭圆型偏微分方程得到的李代数取值的规范参数，定义广义库仑规范条件。
• 通过求解规范参数的线性椭圆型方程，构造实现该条件的规范变换。
• 确保规范条件使高斯定律简化为仅涉及规范势空间分量的形式。
• 利用紧致半单李群的性质，确保椭圆算子是自伴的，并具有唯一解。
• 证明规范固定条件是全局适定的，且由于方程的椭圆性质而避免了格里博夫副本。
• 应用泛函分析方法，证明在适当函数空间中规范固定解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔库仑规范条件能否在具有任意紧致半单规范群的非阿贝尔杨-米尔斯理论中一致地推广？
• RQ2 广义库仑规范条件是否消除了高斯定律中的时间导数，从而实现正则形式化？
• RQ3 规范固定条件是否全局适定，且是否避免了格里博夫歧义？
• RQ4 控制达到广义库仑规范所需的规范变换的微分方程属于何种类型？
• RQ5 能否通过椭圆型PDE理论严格证明该规范条件的存在性与唯一性？

主要发现

• 通过李代数取值的规范参数，实现了库仑规范在非阿贝尔杨-米尔斯理论中的一致推广。
• 广义规范条件消除了高斯定律中的时间导数，从而产生一个纯空间约束。
• 通过求解规范参数的适定线性椭圆型偏微分方程，保证了规范的存在性与唯一性。
• 由于规范固定条件导致椭圆方程的唯一解，该形式中不出现格里博夫问题。
• 该方法适用于任何紧致半单规范群，因此广泛适用于标准非阿贝尔规范场论。
• 该构造为杨-米尔斯理论的正则量子化提供了坚实基础，且完全避免了格里博夫歧义。