[论文解读] The Generalised Discrete Algebraic Riccati Equation in LQ optimal control

Augusto Ferrante, Lorenzo Ntogramatzidis|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Numerical methods for differential equations参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文对无限时域线性二次（LQ）最优控制中的广义离散代数 Riccati 方程（GDARE）进行了几何分析，揭示了一个关键子空间 ${\cal R}_0$，该子空间独立于 GDARE 的解， governs 闭环动态。当不存在稳定化 GDARE 解时，反馈律中的自由度允许通过附加项实现稳定化，从而在非正则情况下仍能实现最优控制。

ABSTRACT

This paper investigates the properties of the solutions of the generalised discrete algebraic Riccati equation arising from the solution of the classic infinite-horizon linear quadratic control problem. In particular, a geometric analysis is used to study the relationship existing between the solutions of the generalised Riccati equation and the output-nulling subspaces of the underlying system and the corresponding reachability subspaces. This analysis reveals the presence of a subspace that plays an important role in the solution of the related optimal control problem, which is reflected in the generalised eigenstructure of the corresponding extended symplectic pencil. In establishing themain results of this paper, several ancillay problems on the discrete Lyapunov equation and spectral factorisation are also addressed and solved.

研究动机与目标

• 分析无限时域 LQ 最优控制中出现的广义离散代数 Riccati 方程（GDARE）的结构性质。
• 研究 GDARE 解与输出零化子空间、可 reach 性子空间以及扩展辛矩阵笔之间的关系。
• 识别一个关键子空间 ${\cal R}_0$，该子空间独立于 GDARE 解， governs 闭环动态。
• 建立即使在不存在稳定化 GDARE 解的情况下仍可实现最优控制的条件。
• 为理解 Moore-Penrose 广义逆在 GDARE 公式中的作用，提供一个几何与谱框架。

提出的方法

• 使用几何分析将 GDARE 解与系统的输出零化子空间和可 reach 性子空间联系起来。
• 分析扩展辛矩阵笔的广义特征结构，揭示 ${\cal R}_0$ 在闭环动态中的作用。
• 引入术语 $R_X = R + B^T X B$，并研究其核与像，以表征解的行为。
• 应用谱因式分解，并求解离散 Lyapunov 方程的辅助问题以支持主要结果。
• 推导出状态反馈形式 $u_k = -K_X x_k + G_X v_k$，其中 $G_X = (I - R_X^\flat R_X)$，引入自由度 $v_k$。
• 证明即使 $X$ 不是稳定化解，通过 $L$ 在 $A_{\rm CL} = A_X + B G_X L$ 中仍可实现闭环矩阵的稳定化。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义离散代数 Riccati 方程的解与输出零化子空间及可 reach 性子空间之间存在何种几何关系？
• RQ2 当不存在稳定化 GDARE 解时，子空间 ${\cal R}_0$ 如何影响闭环动态？
• RQ3 闭环矩阵在 ${\cal R}_0$ 上的谱为何与扩展辛矩阵笔的广义特征结构脱钩？
• RQ4 当 GDARE 无稳定解时，能否构造出稳定化反馈？若能，如何实现？
• RQ5 Moore-Penrose 广义逆在 $R + B^T X B$ 奇异时如何确保最优性？

主要发现

• 存在一个子空间 ${\cal R}_0$，其独立于约束广义离散代数 Riccati 方程（CGDARE）的特定解，且所有解下受限于 ${\cal R}_0$ 的闭环动态保持不变。
• 受限于 ${\cal R}_0$ 的闭环矩阵谱未反映在扩展辛矩阵笔的广义特征结构中，表明存在隐藏的结构性不变性。
• 当扩展辛矩阵笔非正则时（即 ${\cal R}_0 \neq \{0\}$），反馈律中的自由度允许在无稳定化 GDARE 解时仍实现稳定化。
• 最优控制可表示为 $u_k = -K_X x_k + G_X v_k$，其中 $G_X = (I - R_X^\flat R_X)$，且 $v_k$ 提供可调节分量以稳定闭环系统。
• 成本 $J^* = x_2^2(0)$ 在反馈中 $L$ 的不同选择下保持不变，证实所有此类闭环系统均为最优。
• 本文建立所有最优闭环矩阵由 $A_{\rm CL} = A_X + B G_X L$ 参数化，且包含幂零或零矩阵，这些均为稳定化矩阵。