[论文解读] The generalized Abel-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect

A. A. Saharian|ArXiv.org|Aug 8, 2007

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 156被引用 115

一句话总结

本文提出了一种广义 Abel-Plana 公式（GAPF），将经典 Abel-Plana 求和方法的适用范围扩展至涉及修正贝塞尔函数与虚数阶贝塞尔函数零点的复数级数。该方法实现了在球形、圆柱形及加速边界条件下，卡西米尔效应中真空期望值（VEVs）的截断无关计算，将边界诱导贡献分解为绝对收敛积分，并将重整化过程简化为仅与体部分相关的过程。

ABSTRACT

One of the most efficient methods for the evaluation of the vacuum expectation values for physical observables in the Casimir effect is based on using the Abel-Plana summation formula. This enables to derive the renormalized quantities in a manifestly cutoff independent way and to present them in the form of strongly convergent integrals. However, applications of the Abel-Plana formula, in its usual form, are restricted by simple geometries when the eigenmodes have a simple dependence on quantum numbers. The author generalized the Abel-Plana formula which essentially enlarges its application range. Based on this generalization, formulae have been obtained for various types of series over the zeros of combinations of Bessel functions and for integrals involving these functions. It has been shown that these results generalize the special cases existing in literature. Further, the derived summation formulae have been used to summarize series arising in the direct mode summation approach to the Casimir effect for spherically and cylindrically symmetric boundaries, for boundaries moving with uniform proper acceleration, and in various braneworld scenarios. This allows to extract from the vacuum expectation values of local physical observables the parts corresponding to the geometry without boundaries and to present the boundary-induced parts in terms of integrals strongly convergent for the points away from the boundaries. As a result, the renormalization procedure for these observables is reduced to the corresponding procedure for bulks without boundaries. The present paper reviews these results. We also aim to collect the results on vacuum expectation values for local physical observables such as the field square and the energy-momentum tensor in manifolds with boundaries for various bulk and boundary geometries.

研究动机与目标

• 将 Abel-Plana 公式在具有线性量子数依赖性的简单几何结构之外的适用范围进行扩展。
• 推导出关于贝塞尔函数与虚数阶修正贝塞尔函数零点组合的求和公式。
• 实现对有界时空中场平方与能量-动量张量的真空期望值（VEVs）的显式截断无关计算。
• 将 VEV 分解为体部分与边界诱导部分，通过分离几何依赖性贡献简化重整化过程。
• 将广义形式化方法应用于多种物理系统：球形与圆柱形边界、均匀加速的平板以及 braneworld 情景。

提出的方法

• 推导适用于具有复解析结构且在虚轴上存在零点的函数的广义 Abel-Plana 公式（GAPF）。
• 将 GAPF 应用于 $ Z_{i\tilde{\omega}}(u,v) $, $ \bar{K}_{iz}(\eta) $ 与 $ Z_{iz}(u,v) $ 的零点级数，这些函数在边界问题的本征频率谱中出现。
• 利用 GAPF 将 Wightman 函数分解为体部分与边界诱导部分，两者均以绝对收敛积分形式表达。
• 将所得求和公式应用于各种几何结构中的模求和卡西米尔能量与应力计算，包括 $ R^D \times S^1 $、平行平板、球壳与圆柱边界。
• 利用该形式化方法计算有边界区域中场平方与能量-动量张量（EMT）的 VEV，将发散的体贡献与有限的边界诱导部分分离。
• 将 GAPF 应用于辐射问题，如介电圆柱中的螺旋运动，通过所推导的级数公式对本征模进行求和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Abel-Plana 公式广义化以处理涉及复数或虚数阶贝塞尔函数零点的级数？
• RQ2 广义公式能否用于提取在具有非平凡对称性的卡西米尔效应中真空期望值的有限、截断无关表达式？
• RQ3 在 VEV 的边界诱导贡献中，能在多大程度上将其分离并表示为快速收敛的积分？
• RQ4 GAPF 如何通过将其简化为仅体部分的情形，促进具有球形、圆柱形或加速边界系统的重整化过程？
• RQ5 GAPF 对 braneworld 模型以及在宇宙弦或 Rindler 截角等弯曲或非平凡时空中的真空极化具有何种影响？

主要发现

• 广义 Abel-Plana 公式（GAPF）成功地将经典 Abel-Plana 方法扩展至涉及贝塞尔函数与虚数阶修正贝塞尔函数零点的级数，如 $ \bar{K}_{iz}(\eta) $ 与 $ Z_{iz}(u,v) $。
• GAPF 允许将 Wightman 函数分解为体部分与边界诱导部分，后者以强收敛积分形式表达，从而实现 VEV 的截断无关计算。
• 对于具有球形边界的全局单极子背景中的标量场，真空能量-动量张量（EMT）与场平方 VEV 通过 GAPF 计算，其边界诱导部分由收敛积分给出。
• 在 Rindler 真空中两个均匀加速的平板情况下，场平方与 EMT 的 VEV 分离为单板项与相互作用项，后者通过 GAPF 推导并以收敛积分形式表达。
• 在具有两个平面膜的 AdS 体的 braneworld 情景中，本征频率为贝塞尔函数组合的零点，GAPF 实现了对 VEV 中单膜贡献与相互作用贡献的提取。
• 该形式化方法被应用于圆柱形与球形几何中的电磁卡西米尔密度，为边界之间的区域提供了 EMT 与场平方的有限、重整化表达式，同时为标量场与电磁场提供了显式公式。