[论文解读] The generalized Berger-Wang formula and the spectral radius of linear cocycles

Ian D. Morris|ArXiv.org|Jun 16, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用 22

一句话总结

本文通过遍历理论，将经典 Berger-Wang 公式推广至巴拿赫空间上有界线性算子的联合谱半径。证明了联合谱半径等于谱半径与非紧性 Hausdorff 测度半径的最大值，并进一步表明基于有限秩逼近范数的谱半径等于基于 Hausdorff 非紧性测度的谱半径。

ABSTRACT

Using multiplicative ergodic theory we prove two formulae describing the relationships between different joint spectral radii for sets of bounded linear operators acting on a Banach space. In particular we recover a formula previously proved by V. S. Shulman and Yu. V. Turovski\uı using operator-theoretic ideas. As a byproduct of our method we answer a question of J. E. Cohen on the limiting behaviour of the spectral radius of a measurable matrix cocycle.

研究动机与目标

• 将经典 Berger-Wang 公式推广至巴拿赫空间上有界线性算子，推广矩阵情形的结果。
• 在无限维设定下，建立联合谱半径与算子乘积谱半径之间的关系。
• 解决 J. E. Cohen 提出的关于可测矩阵胞状谱半径极限行为的问题。
• 证明基于有限秩逼近范数的联合谱半径等于基于 Hausdorff 非紧性测度的联合谱半径。

提出的方法

• 利用乘法遍历理论分析在算子无限序列空间上的符号动力系统上的次可加胞状。
• 应用次可加遍历定理，将联合谱半径表示为胞状的 Lyapunov 指数。
• 利用广义 Krylov-Bogolioubov 定理，确保紧致乘积空间上不变测度的存在性。
• 通过在不变测度上取 Lyapunov 指数的上确界，应用广义 Berger-Wang 公式。
• 应用定理 3.1 于次可加函数列，将算子范数的上确界与不变测度上的积分联系起来。
• 利用 Hausdorff 非紧性测度与有限秩逼近范数之间的不等式，推导出两个谱半径的相等性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 Berger-Wang 公式能否推广至巴拿赫空间上有界线性算子？
• RQ2 联合谱半径、乘积算子的谱半径与基于非紧性测度的谱半径之间存在何种关系？
• RQ3 基于有限秩逼近范数的谱半径是否等于基于 Hausdorff 非紧性测度的谱半径？
• RQ4 J. E. Cohen 所考虑的可测矩阵胞状的谱半径的极限行为是什么？
• RQ5 在无限维设定下，广义 Berger-Wang 公式在何种条件下成立？

主要发现

• 巴拿赫空间上预紧有界线性算子集的联合谱半径等于乘积谱半径与基于 Hausdorff 非紧性测度的谱半径的最大值。
• 对于预紧算子集，基于有限秩逼近范数的谱半径等于基于 Hausdorff 非紧性测度的谱半径。
• 该证明解决了 J. E. Cohen 关于可测矩阵胞状谱半径极限行为的问题。
• 广义 Berger-Wang 公式在预紧算子集上无条件成立，扩展了以往的条件性结果。
• 该方法为 Turovski 定理（关于紧拟幂零算子半群存在非平凡不变子空间）提供了简短证明。
• 反例表明，若算子集有界但不预紧，则广义公式可能不成立。