[论文解读] The generalized connectivity of complete bipartite graphs

Shasha Li, Wei Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Interconnection Networks and Systems参考文献 2被引用 37

一句话总结

本文确定了所有 $k \in [2, a+b]$ 的完全二分图 $K_{a,b}$ 的 $k$-连通性，扩展了广义连通性的概念。首先证明 $K_{a,b}$ 恰好包含 $\lfloor ab/(a+b-1) \rfloor$ 条边不相交的生成树，然后基于 $a-b+k$ 的奇偶性以及 $k$ 相对于 $b-a+2$ 的取值，推导出 $\kappa_k(K_{a,b})$ 的闭式表达式，给出了连接任意 $k$-顶点子集的边不相交树的最小数量的精确公式。

ABSTRACT

Let $G$ be a nontrivial connected graph of order $n$, and $k$ an integer with $2\leq k\leq n$. For a set $S$ of $k$ vertices of $G$, let $κ(S)$ denote the maximum number $\ell$ of edge-disjoint trees $T_1,T_2,...,T_\ell$ in $G$ such that $V(T_i)\cap V(T_j)=S$ for every pair $i,j$ of distinct integers with $1\leq i,j\leq \ell$. Chartrand et al. generalized the concept of connectivity as follows: The $k$-$connectivity$, denoted by $κ_k(G)$, of $G$ is defined by $κ_k(G)=$min$\{κ(S)\}$, where the minimum is taken over all $k$-subsets $S$ of $V(G)$. Thus $κ_2(G)=κ(G)$, where $κ(G)$ is the connectivity of $G$. Moreover, $κ_{n}(G)$ is the maximum number of edge-disjoint spanning trees of $G$. This paper mainly focus on the $k$-connectivity of complete bipartite graphs $K_{a,b}$. First, we obtain the number of edge-disjoint spanning trees of $K_{a,b}$, which is $\lfloor\frac{ab}{a+b-1} floor$, and specifically give the $\lfloor\frac{ab}{a+b-1} floor$ edge-disjoint spanning trees. Then based on this result, we get the $k$-connectivity of $K_{a,b}$ for all $2\leq k \leq a+b$. Namely, if $k>b-a+2$ and $a-b+k$ is odd then $κ_{k}(K_{a,b})=\frac{a+b-k+1}{2}+\lfloor\frac{(a-b+k-1)(b-a+k-1)}{4(k-1)} floor,$ if $k>b-a+2$ and $a-b+k$ is even then $κ_{k}(K_{a,b})=\frac{a+b-k}{2}+\lfloor\frac{(a-b+k)(b-a+k)}{4(k-1)} floor,$ and if $k\leq b-a+2$ then $κ_{k}(K_{a,b})=a. $

研究动机与目标

• 确定完全二分图中所有 $k \in [2, a+b]$ 的 $k$-连通性 $\kappa_k(K_{a,b})$。
• 确定 $K_{a,b}$ 中边不相交生成树的确切数量，即 $\lfloor ab/(a+b-1) \rfloor$。
• 在 $K_{a,b}$ 中提供 $\lfloor ab/(a+b-1) \rfloor$ 条边不相交生成树的显式构造。
• 基于 $a$、$b$ 和 $k$ 的取值推导 $\kappa_k(K_{a,b})$ 的闭式表达式，特别区分 $a-b+k$ 的奇偶性以及 $k \leq b-a+2$ 的阈值情况。

提出的方法

• 作者将 $\kappa(S)$ 定义为连接 $k$-顶点子集 $S$ 的边不相交树的最大数量，且树在 $S$ 外部内部不相交。
• 他们使用邻接度列表显式构造 $K_{a,b}$ 中的 $\lfloor ab/(a+b-1) \rfloor$ 条边不相交的生成树，确保所有顶点被覆盖且无边共享。
• $k$-连通性 $\kappa_k(G)$ 被计算为所有 $k$-子集 $S$ 的 $\kappa(S)$ 的最小值，通过对称性论证表明 $\kappa(S_{k-i}) \geq \kappa(S_i)$，从而将搜索空间减少至 $i \leq \lfloor k/2 \rfloor$。
• 他们基于 $k$ 相对于 $b-a+2$ 的关系以及 $a-b+k$ 的奇偶性分析三种情况，利用下取整函数和不等式推导出分段公式以界定树的数量。
• 推导过程依赖于比较 $\kappa(S_i)$ 和 $\kappa(S_{i+1})$ 以证明单调性，从而识别出最小值即为 $k$-连通性。
• 最终公式通过验证其与已知结果的一致性得到确认：当 $k = a+b$ 时，$\kappa_{a+b}(K_{a,b}) = \lfloor ab/(a+b-1) \rfloor$。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全二分图 $K_{a,b}$ 中边不相交生成树的最大数量是多少？
• RQ2 对于 $2 \leq k \leq a+b$，$k$-连通性 $\kappa_k(K_{a,b})$ 如何随 $k$、$a$ 和 $b$ 变化？
• RQ3 能否为 $\kappa_k(K_{a,b})$ 推导出一个闭式表达式，该表达式根据 $a-b+k$ 的奇偶性以及 $k$ 相对于 $b-a+2$ 的取值进行区分？
• RQ4 在 $K_{a,b}$ 中，连接任意 $k$-顶点子集的边不相交树的最小数量是多少，以及如何确定该值？

主要发现

• 在 $K_{a,b}$ 中，边不相交生成树的数量恰好为 $\lfloor ab/(a+b-1) \rfloor$，这也等于 $\kappa_{a+b}(K_{a,b})$。
• 当 $k \leq b - a + 2$ 时，$K_{a,b}$ 的 $k$-连通性为 $\kappa_k(K_{a,b}) = a$，与 $k$ 无关。
• 当 $k > b - a + 2$ 且 $a - b + k$ 为奇数时，$\kappa_k(K_{a,b}) = \frac{a+b-k+1}{2} + \left\lfloor \frac{(a-b+k-1)(b-a+k-1)}{4(k-1)} \right\rfloor$。
• 当 $k > b - a + 2$ 且 $a - b + k$ 为偶数时，$\kappa_k(K_{a,b}) = \frac{a+b-k}{2} + \left\lfloor \frac{(a-b+k)(b-a+k)}{4(k-1)} \right\rfloor$。
• 推导出的 $\kappa_k(K_{a,b})$ 公式与已知的 $k = a+b$ 情况一致，验证了其正确性。
• 所有 $k$-子集 $S$ 中 $\kappa(S)$ 的最小值出现在对称配置处，分析利用了对称性与单调性以缩小搜索空间。