[论文解读] The generalized quadratic covariation for fractional Brownian motion with Hurst index less than 1/2

Litan Yan, Chao Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的可测函数 Banach 空间 $\mathscr{H}_*$，建立了 Hurst 指数 $H < 1/2$ 的分数布朗运动的广义二次互变 $[f(B^H), B^H]^{(W)}$ 的存在性。证明了将互变与加权局部时联系起来的 Bouleau-Yor 型恒等式，并为导数属于 $\mathscr{H}_*$ 的绝对连续函数推导出分数阶 Itô 公式，从而将随机微积分扩展至非马氏性、非半鞅过程。

ABSTRACT

Let $B^H$ be a fractional Brownian motion with Hurst index $0

研究动机与目标

• 将广义二次互变理论扩展至 Hurst 指数 $H < 1/2$ 的分数布朗运动，此时标准方法失效。
• 定义一个可测函数的 Banach 空间 $\mathscr{H}_*$，使得广义二次互变在 $L^2$ 中存在。
• 建立一个 Bouleau-Yor 恒等式，将互变与 $B^H$ 的加权局部时 $\mathscr{L}^H$ 联系起来。
• 为导数属于 $\mathscr{H}_*$ 的绝对连续函数推导出适用于 $H < 1/2$ 的分数阶 Itô 公式。
• 将结果推广至时变函数，并沿连续曲线定义加权局部时。

提出的方法

• 通过极限定义广义二次互变：$[f(B^H), B^H]^{(W)}_t = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{2H}{\varepsilon^{2H}} \int_0^t \{f(B^H_{s+\varepsilon}) - f(B^H_s)\}(B^H_{s+\varepsilon} - B^H_s)s^{2H-1}ds$。
• 利用截断逼近和导数的 $L^2$-范数控制构造 Banach 空间 $\mathscr{H}_*$。
• 通过积分分解与差分算子的 $L^2$-有界性，证明互变在 $L^2$ 中的存在性。
• 建立 Bouleau-Yor 恒等式：对 $f \in \mathscr{H}_*$，有 $[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t = -\int_0^t \int_\mathbb{R} f(x,s) \mathscr{L}^H(dx,ds)$。
• 使用截断函数 $\zeta_n$ 进行光滑化处理，逼近 $C^{1,1}$ 函数，并将 Itô 公式扩展至 $H < 1/2$ 的情形。
• 通过积分表示 $\mathscr{L}^H(a(\cdot), t) = \int_0^t \int_\mathbb{R} \mathbf{1}_{(-\infty, a(s))}(x) \mathscr{L}^H(dx, ds)$，沿连续曲线 $a(t)$ 定义加权局部时，并证明其在 $L^2$ 中单调且连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $H < 1/2$ 及合适的 $f$，广义二次互变 $[f(B^H), B^H]^{(W)}$ 是否在 $L^2$ 中存在？
• RQ2 能否为 $H < 1/2$ 建立类似 Bouleau-Yor 的恒等式，将互变与加权局部时 $\mathscr{L}^H$ 联系起来？
• RQ3 是否存在一个适用于 $H < 1/2$ 的分数阶 Itô 公式，其校正项包含广义二次互变？
• RQ4 能否为 $H < 1/2$ 沿连续曲线定义 $B^H$ 的加权局部时？
• RQ5 何种函数空间 $\mathscr{H}_*$ 可确保 $H < 1/2$ 时广义二次互变的 $L^2$ 存在性？

主要发现

• 当 $f \in \mathscr{H}_*$ 时，广义二次互变 $[f(B^H), B^H]^{(W)}_t$ 在所有 $t \in [0,T]$ 上属于 $L^2$，且满足 $\mathbb{E}\left|[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t\right|^2 \leq C_H \|f\|_{\mathscr{H}_*}^2$。
• Bouleau-Yor 恒等式成立：对 $f \in \mathscr{H}_*$ 且 $H < 1/2$，有 $[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t = -\int_0^t \int_\mathbb{R} f(x,s) \mathscr{L}^H(dx, ds)$。
• 建立了分数阶 Itô 公式：$F(B^H_t, t) = F(0,0) + \int_0^t f(B^H_s, s) dB^H_s + \int_0^t \partial_t F(B^H_s, s) ds + \frac{1}{2}[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t$，对 $F \in C^{1,1}$ 且 $f = \partial_x F \in \mathscr{H}_*$ 成立。
• 加权局部时 $\mathscr{L}^H(a(\cdot), t)$ 通过积分表示 $\int_0^t \int_\mathbb{R} \mathbf{1}_{(-\infty, a(s))}(x) \mathscr{L}^H(dx, ds)$ 被良好定义，且在 $L^2$ 中为单调连续过程，适用于连续曲线 $a(t)$。
• $\mathscr{H}_*$ 通过截断逼近构造，包含其导数关于加权测度 $s^{2H-1}ds$ 为 $L^2$-可积的函数，从而保证了互变的 $L^2$-有界性。
• 该方法成功克服了先前方法在 $H < 1/2$ 时的失效问题，其中用于 $H > 1/2$ 的标准时间反转与积分分解技术不再适用。