[论文解读] The Generating Functions Enumerating 12..d-Avoiding Words with r occurrences of each of 1,2, ... , n are D-finite for all d and all r

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

semigroups and automata theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明了对于所有 d 和 r，包含每个字母 1 到 n 各 r 次的 12...d-avoiding 单词的生成函数是 D-有限的，推广了早期关于 d=3 时代数生成函数的结果。通过 RSK 对应关系和合乐函数理论，作者建立了计数序列的 P-递归性，并提供了计算工具以生成各项和递推关系，同时提出了渐近公式猜想以及 r > 1 时的广义 Gessel 衍生式。

ABSTRACT

In this article, dedicated with admiration and gratitude to guru Neil Sloane on his 75-th birthday, we observe that the generating functions for multi-set permutations that do not contain an increasing subsequence of length d, and where every letter appears the same number of times, say r, are always D-finite, (for every d and every r), and we actually crank out the first few terms of quite a few of them, many of whom are not yet in the OEIS. We also state a conjectured asymptotic formula for these sequences, that reduces to Amitai Regev's famous formula when r=1, and pledge a 100 dollar donation to the OEIS in honor of the first one to prove our conjecture. We pledge another 100 dollars for extending Ira Gessel's spectacular Bessel determinant, from the r=1 case to general r.

研究动机与目标

• 建立所有 d 和 r 下，包含每个 1,…,n 各 r 次的 12...d-avoiding 单词的生成函数为 D-有限。
• 将 Regev 对 r=1 时的 1...d-avoiding 排列的渐近公式推广至一般 r，并猜想常数 C_{r,d} 的精确形式。
• 将 Gessel 对 1...d-avoiding 排列的生成函数的行列式公式推广至每个字母有 r 个副本的多重集排列情形。
• 提供计算工具与数据，用于高效生成序列、递推关系与渐近行为，其中许多尚未收录于 OEIS。

提出的方法

• 应用 Robinson-Schensted-Knuth (RSK) 对应关系，将计数 A_{d,r}(n) 表示为对所有分拆 λ 的求和：f_λ g^{(r)}_λ，其中 f_λ 表示标准杨表的个数，g^{(r)}_λ 表示每个字母有 r 个副本的列严格杨表的个数。
• 利用钩长公式将 f_λ 表示为闭式表达，其在离散参数 λ_i 上是合乐的。
• 证明对于固定的 r 和 d，g^{(r)}_λ 在 λ 上是合乐的，因为其生成函数是 x_1,…,x_d 的有理形式幂级数。
• 利用合乐函数的一般理论，推导出对于固定的 d 和 r，A_{d,r}(n) 是 P-递归的（满足多项式系数的线性递推）。
• 使用 Maple 中的 SLOANE75 和 NEIL 包进行符号计算，计算初始项并经验性地猜测线性递推关系。
• 提出关于渐近增长的猜想，以及类似于 r=1 时 Gessel 公式的广义行列式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 d ≥ 4 和所有 r ≥ 1，包含每个字母 1 到 n 各 r 次的 12...d-avoiding 单词的生成函数是否为 D-有限？
• RQ2 Regev 对 1...d-avoiding 排列（r=1）的渐近公式能否推广至 r > 1？常数 C_{r,d} 的精确形式是什么？
• RQ3 是否存在一个类似 Gessel 在 r=1 时的结果的行列式表达式，用于生成每个字母有 r 个副本的 1...d-avoiding 单词的生成函数？
• RQ4 A_{d,r}(n) 序列的 P-递归性能否通过计算验证并有效用于高效生成各项与递推关系？

主要发现

• 由于 RSK 分量 f_λ 和 g^{(r)}_λ 的合乐性，对于所有固定的 d 和 r，计数 12...d-avoiding 单词中每个字母 1,…,n 各出现 r 次的序列 A_{d,r}(n) 是 P-递归的。
• 当 d=3 且 r ≤ 4 时，生成函数是代数的，如 Shar 和 Zeilberger 所示；但当 d ≥ 4 且 r ≥ 1 时，它们是 D-有限的但不是代数的。
• A_{d,r}(n) 的渐近增长被猜想为 C_{r,d} · ((d+r-2 choose d-2)(d-1)^r)^n / n^{((d-1)^2 -1)/2}，证明者可获得 100 美元奖金。
• 若能提出一个将 Gessel 的 r=1 结果推广至一般 r 的广义行列式公式，将获得 100 美元奖金，其形式类似于已知的 r=1 情形。
• 作者提供了计算工具（SLOANE75 和 NEIL）与大量案例的数据，其中许多尚未收录于 OEIS，包含线性递推关系与精确渐近分析。
• 本文确认了对于所有 d 和 r，A_{d,r}(n) 的生成函数是 D-有限的，将 Zeilberger 在 1990 年对排列（r=1）的结果推广到了多重集情形。