[论文解读] The generation problem in Thompson group $F$

Gili Golan|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 13

一句话总结

本文通过引入Stallings 2-核心——自由群的Stallings核心的二维类比——建立了Thompson群F中生成问题的可判定性。利用该结构，作者开发了一种算法，用于判断有限个元素的集合是否生成整个群F，并将该方法应用于解决相关问题，包括子群在二进制有理数上的作用的传递性问题，以及构造无限指数的新极大子群。

ABSTRACT

We show that the generation problem in Thompson group $F$ is decidable, i.e., there is an algorithm which decides if a finite set of elements of $F$ generates the whole $F$. The algorithm makes use of the Stallings $2$-core of subgroups of $F$, which can be defined in an analogue way to the Stallings core of subgroups of a finitely generated free group. Further study of the Stallings $2$-core of subgroups of $F$ provides a solution to another algorithmic problem in $F$. Namely, given a finitely generated subgroup $H$ of $F$, it is decidable if $H$ acts transitively on the set of finite dyadic fractions $\mathcal D$. Other applications of the study include the construction of new maximal subgroups of $F$ of infinite index, among which, a maximal subgroup of infinite index which acts transitively on the set $\mathcal D$ and the construction of an elementary amenable subgroup of $F$ which is maximal in a normal subgroup of $F$.

研究动机与目标

• 确定Thompson群F的一个有限子集是否生成整个群F。
• 为F中的生成问题开发一种算法解法，该问题在某些相关群（如F₂×F₂）中仍为不可判定问题。
• 将Stallings核心构造推广至图示群，引入Stallings 2-核心作为F的子群的二维类比。
• 解决传递性问题：判定一个有限生成子群H ≤ F在有限二进制有理数集D上的作用是否为传递的。
• 构造F中无限指数的新极大子群，包括一个在D上作用传递的子群，以及一个在正规子群内极大且为初等阿贝尔的子群。

提出的方法

• 将子群H ≤ F的Stallings 2-核心L(H)定义为一个接受H中图示的有向2复形，且可能还接受更多图示。
• 将闭包Cl(H)构造为L(H)所接受的所有图示构成的子群，该子群包含H并满足闭包性质。
• 利用核心L(H)通过分析核心中的路径结构，判定H在有限二进制有理数集D上的作用是否为传递的。
• 应用Tuples算法计算Cl(H)的生成集，从而将生成问题约化为检查F的生成元是否属于Cl(H)。
• 利用F与平凡字的图示群之间的同构关系，将元素表示为具有正负细胞的平面图示。
• 利用有向2复形的结构以及与有限核心相关的幺半群表示，分析闭包性与有限生成性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个有限元素子集是否可判定地生成整个Thompson群F？
• RQ2 一个有限生成子群H ≤ F在有限二进制有理数集D上的作用是否可算法判定？
• RQ3 是否存在一个无限指数的F的极大子群，其在D上的作用是传递的？
• RQ4 F的有限生成子群的闭包是否总是有限生成的，特别是当Stallings 2-核心为有限时？
• RQ5 能否构造出在正规子群内极大且为初等阿贝尔的F的新极大子群？

主要发现

• Thompson群F中的生成问题可判定，且通过Stallings 2-核心构造提供了明确的算法。
• 通过分析H的Stallings 2-核心中的路径结构，可判定有限生成子群H ≤ F在有限二进制有理数集D上的作用是否为传递的。
• 构造了一个无限指数的F的新极大子群，其在D上作用传递，证明了此类子群的存在性，而不仅限于固定某点的子群。
• 构造了一个在F的正规子群内极大且为初等阿贝尔的子群，提供了新的极大子群类。
• 若Stallings 2-核心L(H)为有限，则F中有限生成子群H的闭包Cl(H)为有限生成，该结论对可解群与初等阿贝尔群已得证明。
• 本文表明同构于Z≀Z的子群在F中是闭的，提供了一个有限生成、闭但非有限表示的F的子群的实例。