[论文解读] The generators and relations picture of $KK$-theory

Bernhard Burgstaller|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于形式和与乘积的 *-同态及合成逆元的新型、初等的 Kasparov KK-理论形式化，构建了一个称为 GK-理论的范畴。关键结果是：对于可分 C*-代数，GK-理论与标准 KK-理论同构，且 Kasparov 乘积自然地作为该范畴中的复合运算出现，从而提供了一种简化且普遍适用的定义，可推广至具有群或半群作用的更广泛代数类别。

ABSTRACT

This is half an overview article since what we describe here is essentially known. We describe $KK$-theory by generators and relations in a formal sum of formal products of $*$-homomorphisms and some synthetical morphisms. What comes out is a category. The Kasparov product is then just the composition of morphisms. This description may be interesting to anyone who wants a quick and elementary definition of $KK$-theory. The description could also be used for other categories of algebras than $C^*$-algebras endowed with group actions, for example, $C^*$-algebras equipped with an action by a semigroup, a category et cetera.

研究动机与目标

• 通过生成元与关系，提供一种新的、初等的、普遍适用的 KK-理论定义。
• 通过将 Kasparov 乘积作为范畴中自然复合运算嵌入，简化 Kasparov 原始构造的技术复杂性。
• 将该框架扩展至群作用之外的其他范畴，例如具有半群或范畴作用的代数。
• 证明在可分 C*-代数上，GK-理论范畴与标准 KK-理论同构。
• 表明稳定性、同伦不变性与可裂正合性的普遍性质可自然地从生成元与关系的构造中导出。

提出的方法

• 定义由 *-同态与合成逆元生成的自由范畴，形成形式和与乘积。
• 在形式态射上引入等价关系，通过普遍性质强制实现稳定性、同伦不变性与可裂正合性。
• 通过 KK-理论的普遍函子性质导出的关系，将 GK-理论构造为自由范畴的商。
• 利用 Higson 对 KK-理论的普遍特征刻画，证明 GK-理论满足相同的普遍性质。
• 通过普遍函子的唯一性，证明在可分 C*-代数上，GK-理论与标准 KK-理论同构。
• 通过要求态射为等变态射，并以适当的稳定化代数替代紧算子，将框架推广至其他代数类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过基本范畴论与 C*-代数概念，利用生成元与关系的呈现方式重构 KK-理论？
• RQ2 Kasparov 乘积是否自然地作为此类呈现所定义范畴中的复合运算出现？
• RQ3 当限制在具有群作用的可分 C*-代数时，GK-理论是否与标准 KK-理论同构？
• RQ4 该生成元与关系的方法能否推广至具有半群、范畴或其他结构作用的 C*-代数？
• RQ5 稳定性、同伦不变性与可裂正合性的普遍性质是否可从 GK-理论构造中的关系中内在导出？

主要发现

• GK-理论被构造为一个范畴，其态射为 *-同态与合成逆元的形式和与乘积，模去强制实现稳定性、同伦不变性与可裂正合性的关系。
• Kasparov 乘积自然地作为 GK-理论中态射的复合运算实现，无需单独的技术定义。
• 对于可分 C*-代数，GK-理论与标准 KK-理论同构，因为二者均满足相同的普遍函子性质。
• 该构造允许通过交叉积构造，自然地导出从等变 KK-理论到普通 KK-理论的下降同态。
• 该框架可推广至半群、范畴及其他作用，只要态射为等变态射，并使用适当的稳定化代数。
• 当 C*-代数的基数有界时，GK-理论的态射类成为集合，且 GK-理论等价于一个具有实际态射集合的范畴。